模拟九

T1 魔术

时间限制：1000ms
空间限制：512MiB

题目描述

Nyx 要表演一场魔术。她有一个 \(1\) 到 \(n\) 的排列，观众能够看到这个排列，但她自己无法看到。

Nyx 原本有 \(2n\) 张卡牌 \(L(1),L(2),\ldots,L(n),R(1),R(2),\ldots,R(n)\)。

• 使用 \(L(x)\)，会从排列中取出数字 \(x\)，并把它放到排列最前面。
• 使用 \(R(x)\)，会从排列中取出数字 \(x\)，并把它放到排列最后面。

例如，对排列 \((4,3,1,2,5)\) 使用 \(L(1)\)，会得到 \((1,4,3,2,5)\)；使用 \(R(1)\)，会得到 \((4,3,2,5,1)\)。

Nyx的目标是，把这个排列进行排序。不难说明，如果有全部的 \(2n\) 张卡牌，她可以轻松实现这个目标。

但不幸的是，临上台时，一些卡牌被偷走了，因此 Nyx 未必能完成完整的排序任务。Nyx 只能退而求其次的希望，最终排列里的逆序对数量尽可能少，让观众感到满意。

Nyx 可以预先选择任意顺序使用现有卡牌，每张卡牌至多使用一次，也可以不使用。请你求出：最坏情况下排列的逆序对数量，并输出这个最小值。

输入格式

第一行一个正整数 \(T\)，表示测试数据组数。

接下来 \(T\) 行，每行一个只包含 0、1、2、3 的字符串 \(S=s_1s_2\cdots s_n\)。

字符串长度 \(n\) 表示排列长度。对于每个 \(1\le i\le n\)：

• \(s_i=\) 0： 没有 \(L(i)\) 和 \(R(i)\)；
• \(s_i=\) 1：只有 \(L(i)\)；
• \(s_i=\) 2：只有 \(R(i)\)；
• \(s_i=\) 3：同时有 \(L(i)\) 和 \(R(i)\)。

输出格式

输出 \(T\) 行，每行一个非负整数，依次表示每组数据的答案。

输入样例 #1

2
1032
300230

输出样例 #1

0
5

输入样例 #2

见大样例zip。
这个样例的数据范围与测试点 1, 2 一致。

输出样例 #2

输入样例 #3

见大样例zip。
这个样例的数据范围与测试点 3, 4 一致。

输出样例 #3

输入样例 #4

见大样例zip。
这个样例的数据范围与测试点 5, 6 一致。

输出样例 #4

输入样例 #5

见大样例zip。
这个样例的数据范围与测试点 7, 8 一致。

输出样例 #5

输入样例 #6

见大样例zip。
这个样例的数据范围与测试点 9, 10 一致。

输出样例 #6

说明/提示

【样例 1 解释】

对于第一组数据，Nyx 可以依次使用 \(L(1),R(3),R(4)\)。

对于第二组数据，一种最优方案是依次使用 \(L(1),R(4),R(5)\)。

【大样例下载链接】

magic_samples.zip

【数据范围与约定】

测试点编号	\(n\le\)	特殊性质
\(1\sim2\)	\(10\)
\(3\sim4\)	\(100\)
\(5\sim6\)	\(5\times10^5\)	\(S\) 中只包含 0、1、2
\(7\sim8\)	\(5\times10^5\)	\(S\) 中只包含 0、3
\(9\sim10\)	\(5\times10^5\)

对于全部数据，\(1\le T\le10\)，\(1\le n\le5\times10^5\)，\(s_i\in\{0,1,2,3\}\)。

T2 错落有致

时间限制：1500ms
空间限制：512MiB

题目描述

给定 \(n\) 个可选范围 \([l_1,r_1],[l_2,r_2],\ldots,[l_n,r_n]\)，以及一个整数 \(M\)。

Nyx 需要选择 \(n\) 个整数 \(x_1,x_2,\ldots,x_n\)。第 \(i\) 个数需要满足 \(x_i\in[l_i,r_i]\)，并且所有数的和需要等于 \(M\)。

对于所有 \(k=1,2,\ldots,n\)，请你帮她求出：第 \(k\) 小的数最大可能是多少。

注：每个 \(k\) 都需要独立考虑，即不要求存在同一组选择，使得对于所有 \(k\)，第 \(k\) 小的数均达到最大值。

输入格式

第一行两个正整数 \(n, M\)。

接下来 \(n\) 行，每行两个正整数 \(l_i,r_i\)，表示第 \(i\) 个数的可选范围。

输出格式

对于每个 \(k=1,2,\ldots,n\)，令 \(a_k\) 表示第 \(k\) 小的数的最大可能值。一共有 \(n\) 个答案。

为了避免输出这 \(n\) 个数，你只需要输出它们的哈希值，即一个整数：

\[\left(\sum_{k=1}^{n}a_k\cdot 461^k\right)\bmod 167772161. \]

输入样例 #1

3 16
1 6
5 5
5 9

输出样例 #1

43953734

输入样例 #2

见大样例zip。
这个样例的数据范围与测试点 3-4 一致。

输出样例 #2

输入样例 #3

见大样例zip。
这个样例的数据范围与测试点 5-7 一致。

输出样例 #3

输入样例 #4

见大样例zip。
这个样例的数据范围与测试点 8-10 一致。

输出样例 #4

输入样例 #5

见大样例zip。
这个样例的数据范围与测试点 11-15 一致。

输出样例 #5

说明/提示

【样例 1 解释】

令 \((x_1,x_2,x_3)=(5,5,6)\)，排序后为 \((5,5,6)\)，所以排在第 \(1\) 个和第 \(2\) 个的数均可以达到 \(5\)。由于第二个数只能选择 \(5\)，排在第 \(1\) 个的数不可能超过 \(5\)；若排在第 \(2\) 个的数大于 \(5\)，则 \(x_1,x_3\) 均至少为 \(6\)，此时三个数之和至少为 \(17\)，也不满足要求。

令 \((x_1,x_2,x_3)=(2,5,9)\)，可以使排在第 \(3\) 个的数等于 \(9\)。第三个数至多选择 \(9\)，其余两个数能选择的最大值更小，因此排在第 \(3\) 个的数不可能超过 \(9\)。

所以 \((a_1,a_2,a_3)=(5,5,9)\)。按照输出格式计算哈希，得到 \(43953734\)。

【大样例下载链接】

staggered_samples.zip

【数据范围与约定】

测试点编号	\(n\le\)	特殊性质
\(1\sim 2\)	\(8\)	\(r_i-l_i\le 4\)
\(3 \sim 4\)	\(500\)	所有 \(l_i\) 相同
\(5\sim 7\)	\(500\)	所有 \(r_i\) 相同
\(8\sim 10\)	\(500\)
\(11\sim 15\)	\(10^5\)
\(16\sim20\)	\(10^6\)

对于全部数据，\(1\le n\le 10^6\)，\(1\le l_i\le r_i\le 10^9\)，\(1\le M\le 10^{15}\)，且保证 \(\sum_{i=1}^{n}l_i\le M\le\sum_{i=1}^{n}r_i\)。

T3 方块

时间限制：1000ms
空间限制：512MiB

题目描述

Nyx 从前玩过一个消除类游戏。

游戏开始时，场景中会生成 \(2\times n\) 个方块。方块有黑白两种颜色。Nyx 只能对方块进行如下的操作：

1. 在第一行选择一个长度至少为 \(2\) 的非空子序列 \(1 \le i_1 < i_2 < \cdots < i_t \le n\)；
2. 将这些被选位置上的方块循环右移一次。也就是说，第 \(i_t\) 个位置上的方块会移到第 \(i_1\) 个位置；其余第 \(i_j\ (1 \le j < t)\) 个位置的方块会被移动到第 \(i_{j+1}\) 个位置。

在游戏刚开始，以及每次操作后，所有上下颜色相同的列会立即消除。消除后，剩余列保持原来的相对顺序，并滑动至相邻位置。

例如，下图展示了一轮操作以及操作以后相应消除的情况。

如果从某个局面开始，无论 Nyx 怎样继续操作，都不可能再发生消除，则游戏结束。

多年以后，Nyx 回忆起了从前的某一局游戏。她只记得有些位置是黑块，有些位置是白块，剩下的位置已经记不清了。你需要将每个 Nyx 不记得的位置替换成黑块或白块，从而得到一组符合记忆的初始状态。我们假设 Nyx 总是使用最优解法，即总是会用最少的操作次数使游戏结束。请你求出在所有符合 Nyx 记忆的初始状态中，Nyx 需要操作步数的最大值。

输入格式

第一行一个正整数 \(T\)，表示数据组数。

接下来 \(T\) 行，每行一个仅由 0 到 8 组成的字符串 \(S\)，表示一组数据。令 \(n=|S|\)。

对于 \(S\) 中的一个字符，令 \(x=S_i-\texttt{0}\)。\(\lfloor x/3\rfloor\) 表示第一行第 \(i\) 个位置的状态，\(x\bmod 3\) 表示第二行第 \(i\) 个位置的状态。其中：0 表示 Nyx 不记得该位置；1 表示黑块；2 表示白块。

输出格式

输出 \(T\) 行，每行一个整数，依次表示每组数据的答案。

输入样例 #1

2
70501
7023327

输出样例 #1

2
3

输入样例 #2

见大样例zip。
这个样例的数据范围与测试点 8-11 一致。

输出样例 #2

输入样例 #3

见大样例zip。
这个样例的数据范围与测试点 12-15 一致。

输出样例 #3

输入样例 #4

见大样例zip。
这个样例的数据范围与测试点 16-18 一致。

输出样例 #4

输入样例 #5

见大样例zip。
这个样例的数据范围与测试点 22-25 一致。

输出样例 #5

说明/提示

【样例 1 解释】

第 \(1\) 组数据对应的记忆为：

w?b??
b?w?b

这里用 ? 表示 Nyx 不记得的位置。

一种达到答案的符合记忆的初始状态为：

wbbbw
bbwwb

游戏刚开始，第 \(2\) 列上下颜色相同，会立即消除，局面变为：

wbbw
bwwb

以下是一种最优的操作方案：

• 第 \(1\) 次操作，选择第一行第 \(1,2\) 列。操作并消除后，局面变为：

  bw
  wb
  

• 第 \(2\) 次操作，选择第一行第 \(1,2\) 列。操作后所有列都会消除。

第 \(2\) 组数据对应的记忆为：

w??bb?w
b?w??wb

一种达到答案的符合记忆的初始状态为：

wwbbbbw
bbwbwwb

游戏刚开始，第 \(4\) 列上下颜色相同，会立即消除，局面变为：

wwbbbw
bbwwwb

以下是一种最优的操作方案：

• 第 \(1\) 次操作，选择第一行第 \(1,3\) 列。操作并消除后，局面变为：

  wbbw
  bwwb
  

• 第 \(2\) 次操作，选择第一行第 \(1,2\) 列。操作并消除后，剩余局面为：

  bw
  wb
  

• 第 \(3\) 次操作，选择第一行第 \(1,2\) 列。操作后所有列都会消除。

【大样例下载链接】

block_samples.zip

【数据范围与约定】

测试点编号	\(n\le\)	是否含有问号	特殊性质
\(1\sim 2\)	\(5\)	是
\(3\sim 4\)	\(10^5\)	否	第二行可以划分成至多 \(3\) 个连续同色段，且两行黑色方块数量相同
\(5\sim 7\)	\(10^5\)	否	第二行可以划分成至多 \(3\) 个连续同色段
\(8\sim 11\)	\(10^5\)	否	两行黑色方块数量相同
\(12\sim 15\)	\(10^5\)	否
\(16\sim 18\)	\(50\)	是
\(19\sim 21\)	\(1500\)	是
\(22\sim 25\)	\(10^5\)	是

对于全部数据，\(1\le T\le 10\)；每组数据均满足 \(1 \leq n \leq 10 ^ 5,\ \texttt{0}\le S_i \le \texttt{8}\)。

T4 重塑记忆

时间限制：1000ms
空间限制：512MiB

题目描述

Nyx 常常追忆过去。

Nyx 从前有一个 \(0\) 到 \(n-1\) 的排列 \(A=(a_1,a_2,\ldots,a_n)\)。

对于一个区间 \([l,r]\)，定义 \(\operatorname{segmex}_A(l,r)\) 为 \(\{a_l,a_{l+1},\ldots,a_r\}\) 中没有出现的最小非负整数。 Nyx 曾经指定 \(m\) 个区间 \([l_1,r_1],[l_2,r_2],\ldots,[l_m,r_m]\)，并依次记录这些区间的 \(\operatorname{segmex}\)，得到一个长度为 \(m\) 的观测结果。

现在，她忘记了排列中 \(k\) 个位置上的数字，也忘记了观测结果。请你求出可能的观测结果有多少种。

一个观测结果是可能的，当且仅当存在一个符合她的记忆的排列 \(A\)，能够得到这个观测结果。两个观测结果不同，当且仅当至少一个区间的 \(\operatorname{segmex}\) 不同。

答案对 \(167772161\) 取模。

输入格式

第一行三个正整数 \(n,m,k\)。

第二行 \(n\) 个整数 \(b_1,b_2,\ldots,b_n\)。

• 若 \(b_i\ge0\)，表示 Nyx 记得 \(a_i=b_i\)。
• 若 \(b_i=-1\)，表示 Nyx 忘记了 \(a_i\)。

保证恰有 \(k\) 个 \(b_i=-1\)，其余数字互不相同。

接下来 \(m\) 行，每行两个正整数 \(l_i,r_i\)，表示一个区间。保证所有区间互不相同。

输出格式

输出一行一个整数，表示可能的观测结果数量对 \(167772161\) 取模的结果。

输入样例 #1

7 3 4
-1 -1 1 -1 4 3 -1
1 3
2 5
3 7

输出样例 #1

10

输入样例 #2

4 3 2
-1 1 -1 3
1 2
2 3
1 4

输出样例 #2

2

输入样例 #3

见大样例zip。
这个样例的数据范围与测试点 1-2 一致。

输出样例 #3

输入样例 #4

见大样例zip。
这个样例的数据范围与测试点 3-6 一致。

输出样例 #4

输入样例 #5

见大样例zip。
这个样例的数据范围与测试点 7-10 一致。

输出样例 #5

输入样例 #6

见大样例zip。
这个样例的数据范围与测试点 15-17 一致。

输出样例 #6

输入样例 #7

见大样例zip。
这个样例的数据范围与测试点 18-21 一致。

输出样例 #7

说明/提示

【样例 1 解释】

四个空缺位置需要填入 \(0,2,5,6\)。枚举所有填法后，可以得到以下 \(10\) 种不同的观测结果：

\[\begin{aligned} &(0,0,2),(0,0,5),(0,2,2),(0,2,5),(0,3,2),\\ &(2,0,0),(2,2,0),(2,3,0),(3,0,0),(3,2,0). \end{aligned} \]

例如，排列 \((2,5,1,6,4,3,0)\) 对应的观测结果为 \((0,0,2)\)。

【样例 2 解释】

两个空缺位置需要填入 \(0,2\)。

• 填成 \((0,1,2,3)\) 时，观测结果为 \((2,0,4)\)。
• 填成 \((2,1,0,3)\) 时，观测结果为 \((0,2,4)\)。

因此共有 \(2\) 种可能的观测结果。

【大样例下载链接】

reframe_samples.zip

【数据范围与约定】

测试点编号	\(k\le\)	\(n\le\)	\(m\le\)	特殊性质
\(1\sim2\)	\(8\)	\(8\)	\(15\)
\(3\sim6\)	\(50\)	\(50\)	\(1275\)	\(n=k\)，\(m=\frac{n(n+1)}2\)
\(7\sim10\)	\(50\)	\(50\)	\(1275\)	\(n=k\)
\(11\sim12\)	\(300\)	\(300\)	\(500\)	\(n=k\)
\(13\sim14\)	\(300\)	\(300\)	\(40000\)	\(n=k\)
\(15\sim17\)	\(300\)	\(2\times10^5\)	\(40000\)
\(18\sim21\)	\(300\)	\(2\times10^5\)	\(2\times10^5\)	被遗忘的数字构成连续值域
\(22\sim25\)	\(300\)	\(2\times10^5\)	\(2\times10^5\)

“被遗忘的数字构成连续值域”表示存在整数 \(x\)，使得被遗忘的数字恰为 \(x,x+1,\ldots,x+k-1\)。

对于全部数据，\(1\le k\le300\)，\(k\le n\le2\times10^5\)，\(1\le m\le\min\left(2\times10^5,\frac{n(n+1)}2\right)\)，\(-1\le b_i<n\)，\(1\le l_i\le r_i\le n\)，保证所有区间互不相同。