模拟五

T1 传送

时间限制：4000ms
空间限制：512MiB

题目背景

本题和 NOI2026 传送的唯一联系是这个题的背景是传送消息。

题目描述

给定 \(n\) 个人，以及 \(m\) 条带权的单向消息传递方式。

初始时，第 \(1\) 个人知道一条消息。接下来，他需要将这条消息传递给所有人。

对于一条从 \(u_i\) 指向 \(v_i\)，权值为 \(w_i\) 的消息传递方式，如果第 \(u_i\) 个人已经知道消息，那么他可以占用连续的 \(w_i\) 个单位时间，将消息传递给第 \(v_i\) 个人。

注意，每个人在任意时刻最多只能与一个人进行通信，即不能同时沿两条消息传递方式发送消息。

现在你需要求出，至少经过多少个单位时间后，所有人都能知道消息。

如果无法让所有人得到消息，输出 \(-1\)。

输入格式

第一行包含两个正整数 \(c,t\)。其中 \(c\) 表示测试点编号，样例中 \(c=0\)。\(t\) 表示测试数据组数。

接下来包含 \(t\) 组数据。

对于每组数据：

第一行包含两个正整数 \(n,m\)。

接下来 \(m\) 行，每行包含三个正整数 \(u_i,v_i,w_i\)，表示一条从 \(u_i\) 指向 \(v_i\)，权值为 \(w_i\) 的消息传递方式。

输出格式

对于每组数据，输出一行一个整数，表示所有人获得消息所需的最少时间。

如果无法让所有人知道消息，输出 \(-1\)。

输入样例

0 2
6 7
1 2 1
1 3 1
1 4 1
2 5 1
3 5 1
4 5 1
5 6 1
3 1
1 2 1

输出样例

3
-1

说明/提示

在第一组测试数据中：

• 第一秒时 \(1\) 把消息传送给 \(3\)。现在 \(1,3\) 知道消息。

• 第二秒时 \(1\) 把消息传送给 \(2\)，\(3\) 把消息传送给 \(5\)。现在 \(1,2,3,5\) 知道消息。

• 第三秒时 \(1\) 把消息传送给 \(4\)，\(5\) 把消息传送给 \(6\)。现在所有人都知道消息。

在第二组测试数据中，\(3\) 永远不会知道消息。

附加文件中其余样例满足测试点 \(3,7,15,16,17\) 的性质。

数据范围

对于所有测试数据，均有：

• \(1\le t\le10\)；
• \(2\le n\le14\)；
• \(1\le m\le n(n-1)\)；
• 对于所有 \(1\le i\le m\)，均有 \(1\le u_i,v_i\le n\)；
• 对于所有 \(1\le i\le m\)，均有 \(u_i\ne v_i\)；
• 对于所有 \(1\le i\le m\)，均有 \(1\le w_i\le10^7\)。

测试点编号	\(n \le\)	特殊性质
\(1,2\)	\(5\)
\(3,4\)	\(8\)
\(5\)	\(10\)	\(A\)
\(6\)	\(10\)	\(B\)
\(7,8\)	\(10\)
\(9\)	\(12\)	\(A\)
\(10\)	\(12\)	\(B\)
\(11 \sim 14\)	\(12\)
\(15\)	\(14\)	\(A\)
\(16\)	\(14\)	\(B\)
\(17 \sim 20\)	\(14\)

特殊性质 \(A\)：对于所有消息传递方式，均有 \(w_i=1\)。

特殊性质 \(B\)：\(m=n-1\)。

T2 彩虹树

时间限制：1000ms
空间限制：1024MiB

题目背景

本题和 NOI2026 彩虹树的题面的唯一区别是有若干处“相同”改成了“不同”。

题目描述

传说在夜之国中，有一棵包含 \(n\) 个结点的彩虹树。彩虹树是一棵有根树，结点编号为 \(0\sim n-1\)，其中结点 \(0\) 是彩虹树的树根，结点 \(i\)（\(1\le i<n\)）的父亲结点为 \(f_i\)。

彩虹树上的每个结点都能显现出任意颜色。颜色共有无穷多种，但彩虹树的 缤纷度 只由每棵子树中出现过的 不同颜色的数量 决定，而与具体颜色无关。具体地，设以结点 \(i\)（\(0\le i<n\)）为根的子树中共有 \(c_i\) 种不同颜色的结点，则彩虹树的缤纷度可以用序列 \([c_0,c_1,\ldots,c_{n-1}]\) 表示。

例如，在下图中展示了样例 \(2\) 中的彩虹树，结点 \(0,1,5\) 为蓝色，结点 \(2,4\) 为红色，结点 \(3\) 为黄色，因此彩虹树的缤纷度为 \([3,2,1,2,1,1]\)。

【此处省略一张图片，可以去 noi2026 彩虹树 查看】

云层的变化会导致彩虹树的色彩显现出某种特定的规律。具体地，每种规律可以由一个对应的结点子集 \(S\subseteq\{1,2,\ldots,n-1\}\) 来描述：集合 \(S\) 中的每个结点 \(u\) 的颜色都与某个祖先颜色不同。形式化地，对于所有 \(u\in S\)，均存在 \(u\) 的祖先 \(p\)（\(p\ne u\)），满足 \(u\) 与 \(p\) 颜色不同。

尽管受到上述规律的制约，彩虹树仍能呈现出不同的色彩，形成不同的缤纷度。记满足规律 \(S\) 的彩虹树的缤纷度的 种类数 为 \(w_S\)，其中两种缤纷度不同当且仅当两个序列中至少有一个元素不同。

请计算，对于所有可能的 \(2^{n-1}\) 种规律，满足每种规律的彩虹树的缤纷度的种类数之和，即 \(\sum_{S\subseteq\{1,2,\ldots,n-1\}}w_S\)。由于答案可能较大，只需求出答案对 \(998244353\) 取模后的结果。

输入格式

第一行包含两个非负整数 \(c,n\)。其中 \(c\) 表示测试点编号，样例中 \(c=0\)。

第二行包含 \(n-1\) 个非负整数 \(f_1,f_2,\ldots,f_{n-1}\)。

输出格式

输出一行一个非负整数，表示答案对 \(998244353\) 取模后的值。

输入样例 #1

0 3
0 0

输出样例 #1

9

输入样例 #2

0 6
0 1 0 3 1

输出样例 #2

609

说明/提示

样例 1 解释

• 满足规律 \(S=\varnothing\) 的彩虹树的缤纷度共有 \([1,1,1]\)、\([2,1,1]\)、\([3,1,1]\) 三种。
• 满足规律 \(S=\{1\}\) 的彩虹树的缤纷度共有 \([2,1,1]\)、\([3,1,1]\) 两种。
• 满足规律 \(S=\{2\}\) 的彩虹树的缤纷度共有 \([2,1,1]\)、\([3,1,1]\) 两种。
• 满足规律 \(S=\{1,2\}\) 的彩虹树的缤纷度共有 \([2,1,1]\)、\([3,1,1]\) 两种。

因此答案为 \(3+2+2+2=9\)。

附加文件中的其它样例满足测试点 \(3,5,8,10,21\) 的性质。

数据范围

对于所有测试数据，均有：

• \(1\le n\le5000\)；
• 对于所有 \(1\le i<n\)，均有 \(0\le f_i<i\)。

测试点编号	\(n \le\)	特殊性质
\(1\)	\(4\)
\(2\)	\(8\)
\(3,4\)	\(16\)
\(5 \sim 7\)	\(100\)
\(8,9\)	\(100\)	\(B\)
\(10 \sim 12\)	\(500\)
\(13 \sim 15\)	\(500\)	\(B\)
\(16\)	\(5000\)	\(A\)
\(17 \sim 20\)	\(5000\)	\(B\)
\(21 \sim 25\)	\(5000\)

特殊性质 \(A\)：对于所有 \(1\le i<n\)，均有 \(f_i=i-1\)。

特殊性质 \(B\)：对于所有 \(0\le i<n\)，至多存在两个 \(j\) 满足 \(f_j=i\)。

T3 布丁

时间限制：2000ms
空间限制：1024MiB

题目背景

本题与 NOI2026 布丁的关系是没有关系。

题目描述

在一次抽奖活动中，奖池里有一些谢谢参与球和隐藏奖励球。参与者会从奖池中随机抽取一个球，有概率获得隐藏奖励：香香软软可可爱爱的小蛋糕小布丁！

奖池中现在只有 \(x\) 个谢谢参与球。

你可以进行 \(n\) 种操作，其中第 \(i\) 种操作需要花费 \(a_i\) 的代价，并向奖池中加入 \(b_i\) 个隐藏奖励球。每种操作均可以进行任意多次。

在加入至少一个隐藏奖励球后，你可以开始抽奖。每次抽奖时，需要花费 \(1\) 的代价从当前奖池中的所有球中等概率抽取一个球。如果抽中的不是隐藏奖励球，则需要花费 \(1\) 的代价重新进行一次抽奖，直到抽中隐藏奖励球为止。每次抽出的球都会放回奖池。

你希望通过选择合适的操作，使最终抽中隐藏奖励球的期望总代价最小。注意这个代价包含放球的代价。

现在你需要回答 \(q\) 组询问。对于每组询问，给定初始谢谢参与球数量 \(x\)，请计算最优策略下的最小期望代价。

答案需要以最简分数形式输出。

输入格式

第一行包含三个正整数 \(c,n,q\)。其中 \(c\) 表示测试点编号，样例中 \(c=0\)。

接下来 \(n\) 行，第 \(i\) 行包含两个正整数 \(a_i,b_i\)，表示第 \(i\) 种操作需要花费的代价以及加入的“隐藏奖励”球数量。

接下来 \(q\) 行，每行包含一个正整数 \(x\)，表示一次询问中的初始谢谢参与球数量。

输出格式

对于每组询问，输出一行两个整数 \(p,q\)，表示最优策略下的最小期望代价为 \(\frac pq\)。你需要保证 \(p,q\) 为互质的正整数。若答案为整数，则令 \(p\) 为真实答案，\(q=1\)。

输入样例

0 3 5
1 3
2 7
5 13
1
10
20
33
100000

输出样例

7 3
31 7
41 7
73 10
40349 119

说明/提示

\(x=1\) 时，应该花 \(1\) 代价加入 \(3\) 个隐藏奖励球，然后期望花 \(\frac 43\) 代价抽到隐藏奖励。总代价 \(\frac 73\)。

附加文件中其它样例满足测试点 \(1,10,16,20,23\) 的性质。

数据范围

对于所有测试数据，均有：

• \(1\le n\le400\)；
• \(1\le q\le10^5\)；
• \(1\le a_i,b_i\le400\)；
• \(1\le x\le10^{18}\)。

记 \(k\) 为 \(a_i,b_i\) 的最大值。

测试点编号	\(q\)	\(k\)	\(x\)	特殊性质
\(1 \sim 3\)	\(100\)	\(400\)	\(10^3\)	无
\(4 \sim 6\)	\(100\)	\(400\)	\(10^5\)	无
\(7 \sim 9\)	\(100\)	\(400\)	\(10^7\)	无
\(10,11\)	\(1000\)	\(400\)	\(10^7\)	无
\(12,13\)	\(10^5\)	\(400\)	\(10^7\)	无
\(14,15\)	\(10^5\)	\(50\)	\(10^{18}\)	无
\(16,17\)	\(10^5\)	\(100\)	\(10^{18}\)	无
\(18,19\)	\(100\)	\(400\)	\(10^{18}\)	无
\(20 \sim 22\)	\(10^5\)	\(400\)	\(10^{18}\)	\(A\)
\(23 \sim 25\)	\(10^5\)	\(400\)	\(10^{18}\)	无

特殊性质 \(A\)：对于所有 \(1\le i\le n\)，均有 \(a_i=b_i\)。

T4 木棉

时间限制：3000ms
空间限制：1024MiB

题目背景

本题和 NOI2026 木棉的题面的唯一相同点是标题。

题目描述

给定长度为 \(n-2\) 的正整数序列 \(a\) 满足 \(1\le a_i\le n\)。再给定哈希的基底 \(h\)。你需要维护一个长度为 \(n\) 的非负整数序列 \(b\)，初始 \(b_i=0\)，支持共 \(m\) 次如下操作：

• 1 x c：令 \(a_x\leftarrow c\)。
• 2 x c：记 \(p\) 为 \(a\) 以非降序排序后的序列。以 \(p\) 为 Prüfer 序列建立一棵有标号无根树。对于编号为 \(x\) 的点的所有邻居 \(y\)，令 \(b_y\leftarrow b_y+c\)。
• 3 x：记 \(p\) 为 \(a\) 以非降序排序后的序列。以 \(p\) 为 Prüfer 序列建立一棵有标号无根树。设 \(S\) 为编号为 \(x\) 的点的邻居集合。你需要求出集合 \(S\) 的点按编号排序后的 \(b\) 序列的哈希值。具体地，记 \(k=|S|\)，\(S_i\) 表示 \(S\) 中第 \(i\) 小的编号，你需要求出 \(\sum_{i=1}^kb_{S_i}h^{i-1}\) 对 \(2^{64}\) 取模的答案。

注意以 Prüfer 序列建立树的时候，所使用的 Prüfer 序列都是不降的。

输入格式

第一行包含四个非负整数 \(c,n,m,h\)。其中 \(c\) 表示测试点编号，样例中 \(c=0\)。

第二行包含 \(n-2\) 个正整数 \(a_1,a_2,\dots a_{n-2}\)。

后 \(m\) 行每行 \(2\sim3\) 个正整数表示操作，格式同题目描述。

输出格式

对于每个 \(3\) 操作，输出一行一个非负整数表示答案对 \(2^{64}\) 取模的值。

输入样例

0 8 12 10
2 2 2 5 8 8
2 2 1
3 5
2 4 1
3 8
2 8 1
1 3 6
2 5 1
2 8 1
3 5
2 2 1
1 6 1
3 2

输出样例

0
1
12
412

说明/提示

第一次 \(2\) 操作后 \(b=[1,0,1,1,1,0,0,0]\)。

第二次 \(2\) 操作后 \(b=[1,1,1,1,1,0,0,0]\)。

第三次 \(2\) 操作后 \(b=[1,1,1,1,2,1,1,0]\)。

第四次 \(2\) 操作后 \(b=[1,2,1,1,2,1,1,1]\)。

第五次 \(2\) 操作后 \(b=[1,2,1,1,3,2,2,1]\)。

第六次 \(2\) 操作后 \(b=[2,2,2,1,4,2,2,1]\)。

附加文件中其它样例满足测试点 \(2,8,16\) 的性质。

数据范围

对于所有测试数据，均有：

• \(3\le n\le5\times10^5\)；
• \(1\le m\le 5\times10^5\)；
• \(1\le h\le 2^{32}-1\)；
• 对于所有 \(1\le i\le n-2\)，均有 \(1\le a_i\le n\)；
• 对于所有 \(1\) 操作中的 \(x,c\)，均有 \(1\le x\le n-2\)，\(1\le c\le n\)；
• 对于所有 \(2\) 操作中的 \(x,c\)，均有 \(1\le x\le n\)，\(1\le c\le 10^9\)。
• 对于所有 \(3\) 操作中的 \(x\)，均有 \(1\le x\le n\)。
• 至少存在一次 \(3\) 操作。

记 \(a_i\) 以及所有 \(1\) 操作中的 \(c\) 的最大值为 \(k\)。

测试点编号	\(n,m \le\)	特殊性质
\(1\)	\(500\)
\(2,3\)	\(5000\)
\(4,5\)	\(3\times 10^5\)	\(k \le 100\)
\(6,7\)	\(3\times 10^5\)	没有 \(1\) 操作
\(8 \sim 11\)	\(3\times 10^5\)	\(A\)
\(12\)	\(3\times 10^5\)	\(B\)
\(13\)	\(3\times 10^5\)	\(CD\)
\(14,15\)	\(3\times 10^5\)	\(D\)
\(16 \sim 19\)	\(5 \times 10^5\)	\(h = 1\)
\(20\)	\(2\times 10^5\)
\(21,22\)	\(3 \times 10^5\)
\(23 \sim 25\)	\(5 \times 10^5\)

特殊性质 \(A\)：\(a\) 序列以及 \(1\) 操作的 \(x,c\) 在所有可能中均匀随机生成。

特殊性质 \(B\)：\(2,3\) 操作中的 \(x\) 在当时的 \(a\) 序列中出现过。

特殊性质 \(C\)：\(2\) 操作中的 \(x\) 在当时的 \(a\) 序列中未出现过。

特殊性质 \(D\)：\(3\) 操作中的 \(x\) 在当时的 \(a\) 序列中未出现过。