模拟四

T1 世界杯

时间限制：1000ms
空间限制：512MiB

题目背景

在2025年6月5日晚，世界杯预选赛亚洲区18强赛第9轮比赛，中国男足客场挑战印尼队，最终以0-1告负。

作为国足一直以来的铁粉（铁粉是黑色的），小Q对此感到十分难受，因此他在梦里，他也时常梦到国足的比赛。

题目描述

小Q梦见了一场球赛！可是他记不清比赛的全部了。

国足有 \(n+1\) 名球员，小Q还记得前 \(n\) 名选手的进球数和助攻数，但是他记不清最后一名球员的数据了！小Q希望知道，最少要进多少个球，才能满足前 \(n\) 个人的数据，注意你可以自由控制最后一个球员的数据，不过必须满足进球数与助攻数都是非负整数。

注：本题要求一粒进球必须由一次助攻与一次进球组成，且不能出现自己助攻自己的情况。

给定两长度为 \(m\) 的序列 \(A,B\)，多次询问，每次进球数据和助攻数据分别是 \(A,B\) 中长度相等的段 \([l_1,r_1]\) ，\([l_2,r_2]\)，具体来说，对于一次询问，有 \(n=r_1-l_1+1\)，第 \(i\) 个人的进球数据为 \(A_{l_1+i-1}\)，助攻数据为 \(B_{l_2+i-1}\)，你需要求出答案。

输入格式

第一行两个整数 \(m,q\)。

第二行 \(m\) 个整数，第 \(i\) 个数表示 \(A_i\)。

第三行 \(m\) 个整数，第 \(i\) 个数表示 \(B_i\)。

接下来 \(q\) 行，每行四个整数 \(l_1,r_1,l_2,r_2\)，表示一次询问，保证 \(r_1-l_1=r_2-l_2\)。

输出格式

共 \(q\) 行，第 \(i\) 行表示第 \(i\) 组询问的答案。

输入样例

5 5
1 2 4 3 5
1 2 5 4 3
1 2 4 5
1 3 1 3
3 5 2 4
2 5 1 4
3 4 1 2

输出样例

7
9
12
14
7

说明/提示

更多大样例详见下发文件。

子任务	\(m\le\)	\(q\le\)	\(a_i,b_i\le\)	特殊性质	分值
\(1\)	\(5\)	\(5\)	$5 $	无	$ 10$
\(2\)	\(100\)	\(100\)	\(10^9\)	无	$ 20$
\(3\)	\(1000\)	\(1000\)	\(10^9\)	无	$ 10$
\(4\)	\(5000\)	\(5000\)	\(10^9\)	无	$ 20$
\(5\)	\(2 \times 10^5\)	\(2 \times 10^5\)	\(10^9\)	有	$ 10$
\(6\)	\(2 \times 10^5\)	\(2 \times 10^5\)	\(10^9\)	无	$ 30$

特殊性质：满足 \(l_1=l_2,r_1=r_2\)。

对于 \(100\%\) 数据，满足：
\(1 \le l_1 \le r_1 \le m\) , \(1 \le l_2 \le r_2 \le m\) , \(r_1-l_1=r_2-l_2\)。

T2 求和

时间限制：500ms
空间限制：512MiB

题目背景

小Q不会组合数，但是作为 CWC(China Whale Competition) 的第二名，小G非常擅长组合数。

题目描述

小Q想到了一个问题：

定义 $$f_{i,x}=\begin{cases}
C_i^x & x\le i \land \ 0\le x \land\ 0\le i \
0 & \text{otherwise}
\end{cases}

\[ 给定 $n,k$ 满足 $k\mid n$，$q$ 次询问每次给定 $x,r$，求 $\sum\limits_{i=0}^{n}[i\bmod k=r] f_{i,x}$。 但是小Q并不会做这个题，于是他向小G请教，但是小G认为这个题太简单了，并不屑于去做，于是小Q把问题丢给了你。 请输出答案对 $10^9+7$ 取模的结果。 ## 输入格式 第一行三个整数 $n,k,q$。 接下来 $q$ 行每行两个整数 $x,r$。 ## 输出格式 共 $q$ 行，每行一个整数表示答案。 ## 输入样例 ``` 6 3 5 3 2 3 1 1 2 4 1 2 0 ``` ## 输出样例 ``` 10 4 7 1 18 ``` ## 说明/提示 **更多大样例详见下发文件** 对 $20\%$ 的数据，$1 \le n,q,x \le 10^3$。 对另外 $10\%$ 的数据，$k=1$。 对另外 $40\%$ 的数据，$k \le10$。 对 $100\%$ 的数据，$1 \le n,q,x \le 10^5$，$0 \le r <k \le n, x\le n$。 # T3 兔典序 **时间限制**：2000ms **空间限制**：512MiB ## 题目描述 小粉兔知道什么叫字典序，但他没事找事自创了一种兔典序。兔典序和字典序唯一的区别在于，当两个序列的长度不一致时，长度更长的序列的兔典序更大。 小粉兔知道什么叫子序列，但他怕你分不清子序列和子串，所以他特地提醒你子序列的定义：一个序列 $s$ 是另一个序列 $t$ 的子序列，当且仅当 $s$ 可以通过去掉 $t$ 中的若干个元素得到。 小粉兔有两个序列 $a_{1\dots n}$ 和 $b_{1\dots m}$，他让你从 $a$ 中选出一个非空子序列 $s$，再从 $b$ 中选出一个非空子序列 $t$，使得 $s$ 的兔典序大于 $t$。 小粉兔想知道你可以选出多少对不同的 $(s,t)$。注意，通过不同的方式选出来相同的 $(s,t)$ 视为同一对。 由于方案数可能很多，你只需要输出答案对 $998244353$ 取模后的值。 ## 输入格式 第一行两个整数 $n,m$。 第二行 $n$ 个整数 $a_{1 \dots n}$。 第三行 $m$ 个整数 $b_{1 \dots m}$。 ## 输出格式 一行一个整数，表示答案。 ## 输入样例 #1 ``` 2 4 2 1 1 2 2 3 ``` ## 输出样例 #1 ``` 6 ``` ## 输入样例 #2 ``` 10 10 6 9 8 1 10 4 3 1 10 5 10 7 6 4 5 1 9 9 1 4 ``` ## 输出样例 #2 ``` 308229 ``` ## 输入样例 #3 ``` 23 21 9 18 20 15 19 5 16 3 20 17 19 4 16 21 4 11 21 3 9 12 13 20 9 8 17 11 1 1 20 11 21 12 12 19 14 9 9 15 10 13 1 7 21 3 ``` ## 输出样例 #3 ``` 832153855 ``` ## 说明/提示 **【样例说明 1】** 六对 $(s,t)$ 分别为 $(2, 1), (2\ 1, 1), (2\ 1, 2), (2\ 1, 3), (2\ 1, 1\ 2), (2\ 1, 1\ 3)$。 **【数据范围】** 对于前 $20\%$ 的数据，$n,m \le 10$。 对于前 $50\%$ 的数据，$n, m \le 50$。 对于另 $20\%$ 的数据，$1 \le n,m \le 10^3$，$1 \le a_i, b_i \le 20$。 对于 $100\%$ 的数据，$1 \le n, m \le 5 \times 10^3$，$1 \le a_i \le n$，$1 \le b_i \le m$。 # T4 道路维修 **时间限制**：3000ms **空间限制**：1024MiB ## 题目描述 有一个由 $n$ 条无限长的东西向道路和 $m$ 条无限长的南北向道路组成的网格状道路网。 从北边数第 $i\ (1 \leq i \leq n)$ 条的东西向的道路和从西边数第 $j\ (1 \leq j \leq m)$ 条的南北向的道路相交的地方称作交叉点 $(i, j)$。 现在，由于道路年久失修，一部分道路被封锁了。 具体的封锁情况如下： - 如果 $A_{i, j}=0\ (1 \leq i \leq n,1 \leq j \leq m-1)$，则交叉点 $(i, j)$ 和交叉点 $(i, j+1)$ 之间的部分就是封锁的；如果 $A_{i, j}=1$ 则是可以通行的。 - 如果 $B_{i, j}=0\ (1 \leq j \leq m,1 \leq i \leq n-1)$ ，则交叉点 $(i, j)$ 和交叉点 $(i+1, j)$ 之间的部分就是封锁的；如果 $B_{i, j}=1$ 就是可以通行的。 - 道路的其他部分，即 $n \times m$ 个交叉点外面的部分都是封锁的。 要进行一个维修计划，维修计划由大于等于 $0$ 次维修构成。 一次维修时选择一个整数 $i\ (1 \leq i \leq n)$，然后进行以下的操作： 对于**所有**满足 $1 \leq j \leq m-1$ 的整数 $j$，将交叉点 $(i, j)$ 和交叉点 $(i, j+1)$ 之间的部分成可以通行的。这个过程总共需要 $C_{i}$ 天，$C_{i}∈\{1,2\}$。 维修计划里包含的多次维修不能同时进行。因此，维修计划的执行所需要的天数是维修计划里包含的所有维修所需要的天数的总和。 你需要回答 $q$ 个问题，第 $k\ (1 \leq k \leq q)$ 个问题是这样的： 是否存在一个维修计划，能够让 $T_{k}$ 个交叉点 $(X_{k, 1}, Y_{k, 1}),(X_{k, 2}, Y_{k, 2}), \ldots ,(X_{k, T_{k}}, Y_{k, T_{k}})$ 之间，只通过可以通行的道路互相通行。如果存在的话，执行这样的维修计划最少需要多少天。 给定道路网的封锁情况，各条道路的维修所需要的天数，$q$ 个问题的内容，编写一个程序来回答所有问题。 ## 输入格式 第一行包含三个整数 $n,m,q$。 接下来 $n$ 行，每行包含一个长度为 $m-1$ 的字符串，表示 $A_{i,1},A_{i,2},\ldots ,A_{i,m-1}$。 接下来 $n-1$ 行，每行包含一个长度为 $m$ 的字符串，表示 $B_{i,1},B_{i,2},\ldots ,B_{i,m}$。 接下来一行包含 $n$ 个用空格分隔的整数 $C_1,C_2,\ldots ,C_n$。 接下来有 $q$ 个询问，每个询问用以下形式给出： 第一行包含一个整数 $T_k$，接下来 $T_k$ 行每行包含两个整数 $X_{k,i},Y_{k,i}$。 ## 输出格式 输出 $q$ 行，对于第 $k$ 行 $(1 \leq k \leq q)$ ，若存在一个维修计划能使 $T_{k}$ 个交叉点 $(X_{k, 1}, Y_{k, 1}),(X_{k, 2}, Y_{k, 2}), \ldots ,(X_{k, T_{k}}, Y_{k, T_{k}})$ 之间互相通行，就输出执行这样的维修计划最少需要多少天，否则输出 $-1$。 ## 输入样例 #1 ``` 4 3 4 00 00 00 00 100 001 000 1 1 1 1 2 1 1 3 3 2 3 1 1 2 2 2 3 3 3 2 4 2 3 2 ``` ## 输出样例 #1 ``` 1 3 0 -1 ``` ## 输入样例 #2 ``` 4 4 4 100 110 011 010 0010 1001 0101 1 1 1 1 2 1 2 3 1 2 1 4 4 1 2 3 2 1 2 2 4 3 1 1 ``` ## 输出样例 #2 ``` 1 3 2 2 ``` ## 输入样例 #3 ``` 7 3 3 10 00 00 10 00 01 00 110 101 011 001 110 100 1 1 1 1 1 1 1 3 7 2 3 1 3 2 3 3 1 6 3 2 3 7 2 2 1 3 7 3 5 2 1 2 7 2 3 1 ``` ## 输出样例 #3 ``` 3 2 4 ``` ## 输入样例 #4 ``` 4 3 3 00 00 10 00 110 011 001 1 2 2 2 2 1 1 3 1 2 4 3 2 1 2 4 1 1 3 ``` ## 输出样例 #4 ``` 1 2 5 ``` ## 输入样例 #5 ``` 7 3 2 01 00 00 00 00 10 01 100 110 011 001 101 001 1 1 2 1 1 2 2 3 7 2 1 3 5 1 5 1 1 2 2 3 1 2 3 4 2 ``` ## 输出样例 #5 ``` 4 1 ``` ## 输入样例 #6 ``` 见附件 ex_road1~8.in，分别满足子任务 1~8 的限制。 ``` ## 输出样例 #6 ``` 见附件 ex_road1~8.out，分别满足子任务 1~8 的限制。 ``` ## 说明/提示 对于所有输入数据，满足： - $2 \leq n$ - $2 \leq m$ - $n \times m \leq 10^6$ - $1 \leq q \leq 10^5$ - $A_{i, j}$ 为 $0$ 或 $1\ (1 \leq i \leq n, 1 \leq j \leq m-1)$ - $B_{i, j}$ 为 $0$ 或 $1\ (1 \leq i \leq n-1,1 \leq j \leq m)$ - $C_{i}$ 为 $1$ 或 $2\ (1 \leq i \leq n)$ - $2 \leq T_{k}\ (1 \leq k \leq q)$ - $T_{1}+T_{2}+\cdots+T_{q} \leq 2\times 10^5$ - $1 \leq X_{k, l} \leq n\ (1 \leq k \leq q, 1 \leq l \leq T_{k})$ - $1 \leq Y_{k, l} \leq m\ (1 \leq k \leq q, 1 \leq l \leq T_{k})$ - $(X_{k, 1}, Y_{k, 1}),(X_{k, 2}, Y_{k, 2}), \ldots,(X_{k, T_{k}}, Y_{k, T_{k}})$ 各不相同 $(1 \leq k \leq q)$ 详细子任务附加限制及分值如下表所示。 | 子任务 | 附加限制 | 分值 | | :----: | :----------------------------------------------------------: | :--: | | 1 | $C_{i}=1\ (1 \leq i \leq n), q \leq 5, T_{k}=2\ (1 \leq k \leq q), A_{i, j}=0\ (1 \leq i \leq n, 1 \leq j \leq m-1)$ | $10$ | | 2 | $ C_{i}=1\ (1 \leq i \leq n), q \leq 5, T_{k}=2\ (1 \leq k \leq q)$ | $10$ | | 3 | $C_{i}=1\ (1 \leq i \leq n), q \leq 5$ | $15$ | | 4 | $C_{i}=1\ (1 \leq i \leq n), T_{k}=2\ (1 \leq k \leq q)$ | $15$ | | 5 | $C_{i}=1\ (1 \leq i \leq n)$ | $15$ | | 6 | $q \leq 5$ | $10$ | | 7 | $T_{k}=2\ (1 \leq k \leq q)$ | $15$ | | 8 | 无附加限制 | $10$ |\]