模拟二

T1 Mex

时间限制：1000ms
空间限制：256MiB

题目描述

对于非负整数序列 \(a_1, \ldots, a_n\)，定义 \(\mathrm{mex}(a)\) 为序列 \(a\) 中没有出现的最小非负整数。如 \(\mathrm{mex}(\{0, 1, 3, 3, 2\}) = 4\)，\(\mathrm{mex}(\{5, 0, 0, 1, 4\}) = 2\)。

给定长度为 \(n\) 个两个序列 \(a_1, \ldots, a_n\) 和 \(b_1 \ldots, b_n\)，对于每个位置 \(i \in [1, n] \cap \mathbb{Z}\)，你可以选择交换 \(a_i\) 和 \(b_i\)。求出 \(\mathrm{mex}(a)\) 的最小值，以及有多少种交换方案可以达到这个最小值，对 \(10^9 + 7\) 取模。

两个方案不同，当且仅当存在至少一个 \(i\) 使得其中一个方案交换了 \(a_i\) 和 \(b_i\) 但另一个没有。

输入格式

第一行一个正整数 \(n\)。

第二行 \(n\) 个非负整数 \(a_1, \ldots, a_n\)。

第三行 \(n\) 个非负整数 \(b_1, \ldots, b_n\)。

输出格式

输出两个以空格分隔的整数，表示最小的 \(\mathrm{mex}\) 值和方案数对 \(10^9 + 7\) 取模的结果。

输入样例 #1

2
0 1
1 1

输出样例 #1

0 2

输入样例 #2

4
0 1 2 3
0 1 2 3

输出样例 #2

4 16

说明/提示

保证对于所有测试点满足：\(1 \le n \le 10^5\)，\(0 \le a_i, b_i \le 10^9\)。

测试点编号	\(n \le\)	特殊性质
\(1\sim 3\)	\(15\)	无
\(4\sim 5\)	\(2,000\)	\(a_i = b_i\)
\(6\sim 8\)	\(2,000\)	无
\(9\sim 10\)	\(10^{5}\)	无

T2 建造

时间限制：1000ms
空间限制：512MiB

题目描述

为了迎接新生，学校需要建造 \(n\) 栋不同高度且高度是 \([1,n]\) 中的一个整数的建筑。建筑都建在一个数轴上，且坐标是 \([1,X]\) 中一个整数。

为了防止一栋建筑倒塌的时候会砸到另一栋建筑，现在要求：对于任何两栋不同的建筑，它们的距离（坐标差的绝对值）应该大于等于这两栋建筑中任何一栋的高度。

求有多少种建造的方案，答案对质数 \(P\) 取模。

输入格式

第一行三个整数 \(n,X,P\)

输出格式

输出一个非负整数表示答案。

输入样例

6 94 920383201

输出样例

539546233

说明/提示

对于 \(100\%\) 的数据，满足：\(1\le n\le 100\)，$ 1\le x \le 10^5$ ,$ 10^8 \le P \le 10^9$，且 \(P\) 是质数

测试点编号	数据限制
\(1 \sim 3\)	\(n \le 6\)，$ 1\le x \le 100$
\(4\sim 5\)	\(n \le 13\)，$ 1\le x \le 1000$
\(6 \sim 7\)	\(n \le 15\)
\(8 \sim 10\)

T3 玉真

时间限制：3000ms
空间限制：1024MiB

题目背景

花谢会再开梦醒不再来

一厢情愿竟是错 付红尘

曾许诺 满庭花有意 暮云却飘散天边

曾许诺 有多少温柔 输给了时间

题目描述

由于评测机性能差异，线上评测时此题的时间限制为 3s。

琴师在给玉真公主奏乐。

记 \(f_k(x)\) 表示 \(x\) 的 \(k\) 进制表示下的数位和，如 \(f_9(737)=1+0+0+8=9\)。

给定调式 \(k\)，琴师在此调式下有一个无限长的曲谱 \(s\)，满足 \(s_i=f_k(i)\bmod k\)。

琴师每次演奏会截取这个曲谱的一段子串，即 \(w(l,r)=s_ls_{l+1}\dots s_{r-1}s_r\)。

琴师进行了 \(n\) 次连续的演奏，第 \(i\) 次演奏 \(w(l_i,r_i)\)。

由此可以构造出一个字符串 \(S=w(l_1,r_1)+w(l_2,r_2)+\dots +w(l_n,r_n)\)，此为最终的乐曲。

玉真公主有 \(q\) 个喜欢的片段，第 \(i\) 个片段用字符串 \(p_i\) 表示。公主想知道她喜欢的每个片段分别在乐曲 \(S\) 中出现了多少次。

输入格式

一行三个整数 \(n,q,k\)。

接下来 \(n\) 行，每行两个数字 \(l_i,r_i\)。

接下来 \(q\) 行每行一个字符串表示询问串。

输出格式

输出 \(q\) 行，第 \(i\) 行一个整数表示第 \(i\) 个询问串在 \(S\) 中的出现次数。

输入样例 #1

3 7 2
2 6
1 3
4 8
0
1
00
01
10
11
0011010

输出样例 #1

6
7
2
4
4
2
1

输入样例 #2

2 5 5
114 514
191 9810
0
1
2
3
4

输出样例 #2

2006
2003
2004
2004
2004

说明/提示

样例解释

对于第一组样例，\(S=1010011010011\)。

数据范围

对于 \(100\%\) 的数据，保证 \(1\leq n,q\leq 10^5\)，\(\sum |p_i|\leq 2\times 10^5\)，\(1\leq l_i\leq r_i\leq 10^9\)，询问串中的字符都是小于 \(k\) 的数字。

测试点编号	\(\lvert S\rvert\leq\)	\(\sum \lvert p_i\rvert\leq\)	\(k=\)
\(1\)	\(100\)	\(100\)	\(5\)
\(2\sim 3\)	\(5000\)	\(5000\)	\(5\)
\(4\sim 8\)	\(10^5\)	\(2\times 10^5\)	\(5\)
\(9\sim 16\)	\(10^{14}\)	\(2\times 10^5\)	\(2\)
\(17\sim 20\)	\(10^{14}\)	\(2\times 10^5\)	\(3\)
\(21\sim 23\)	\(10^{14}\)	\(2\times 10^5\)	\(4\)
\(24\sim 25\)	\(10^{14}\)	\(2\times 10^5\)	\(5\)

T4 死神永生

时间限制：3000ms
空间限制：256MiB

题目描述

在《三体3：死神永生》中，黑暗森林法则笼罩着所有文明。云天明在离开太阳系前，曾通过智子向地球传递了一个神秘的树状结构模型，代表了一个星系的连接网络。这棵树有 \(n\) 个节点，每个节点对应一个恒星系统。

权值 \(a_i\) 表示了一个的恒星系统初始威胁（权值越高，风险越大）。

边表示恒星系统之间的通路，距离 \(d\) 反映了路径的长度，其中 \(d_v(u)\) 为 \(u,v\) 之间边的数量。注意： \(d_v(u) = d_u(v), \quad d_v(v) = 0\) 。

打击代价 \(w_v(u)\) 定义了从系统 \(v\) 出发打击系统 \(u\) 的代价，结合了路径长度和目标系统的固有风险。其中 \(w_v(u) = d_v(u) + a_u\)。

注意： \(w_v(v) = a_v, w_v(u) \ne w_u(v)\) 如果 \(a_u \ne a_v\)。

系统 \(v\) 视角中的最大打击代价 \(e(v)\) 为从 \(v\) 出发，对所有系统打击代价的最大值，即 \(\displaystyle e(v) = \max_{1 \le u \le n} w_v(u)\) , 而整个网络的最小威胁水平 \(r\) 为所有最大打击代价的最小值：\(\displaystyle r = \min_{1 \le v \le n} e(v)\) ，这或许是文明寻找安全港湾的关键指标。

随着时间流逝，文明等级因技术爆炸或黑暗森林打击而动态变化。现在，有 \(m\) 次询问，每次询问给出两个数 \(v_j,x_j\)，表示将 \(a_{v_j}\) 修改为 \(x_j\)，模拟文明等级的变化（例如，系统遭受光粒打击后风险降低，或技术突破，留下飞船航迹后风险升高）。

每次修改后，都需要重新计算整个网络的最小威胁水平 \(r\) ，以评估当前宇宙的安全状态，为地球文明的决策者提供参考。

在这个背景下，你的任务是计算每次修改后的的最小威胁水平 \(r\) ，帮助人类文明在死神永生的宇宙中寻找一线生机。

输入格式

第一行包含一个整数 \(n\)，表示恒星系统的个数，即树的节点数。

第二行包含 \(n\) 个整数 \(a_1,\dots,a_n\)，表示每个恒星系统的初始威胁权值。

接下来 \(n-1\) 行表示。第\(i\)行包含两个整数 \(u_i\) 和 \(v_i\)，表示从系统 \(u_i\) 到系统 \(v_i\) 存在通路，即树的一条边。

接下来一行包含一个整数 \(m\)，表示查询的个数。

接下来 \(m\) 行每行包含一个询问。第 \(j\) 个询问包含两个整数 \(v_j\) 和 \(x_j\)，表示询问的结点和该结点的新威胁权值。

输出格式

输出 \(m\) 个整数，表示每个查询后的最小威胁水平 \(r\) 。

输入样例

6
1 3 3 7 0 1
2 1
1 3
1 4
5 4
4 6
5
4 7
4 0
2 5
5 10
5 5

输出样例

7
4
5
10
7

说明/提示

【数据范围】

对于前 \(10\%\) 的数据，满足 \(n,m\le 2000\)。

对于另外 \(10\%\) 的数据，满足树的形态为一条链。

对于另外 \(10\%\) 的数据，满足 \(m=1\)。

对于另外 \(30\%\) 的数据，满足每次修改的变化量 \(\ge 0\) 。即 \(x_j \ge a_{v_j},\forall 1\le j\le m\) 。

对于前 \(80\%\) 的数据，\(n,m\le 5\times 10^4\)。

对于 \(100\%\) 的数据：\(2\le n,m\le 2\times 10^5,0\le a_i,x_i\le 10^6\)。