【数据结构和算法】循环不变式的理解

一、什么是循环不变式

循环不变式（loop invariants）不只是一种计算机科学的思想，准确地说是一种数学思想。在数学上阐述了通过循环（迭代、递归）去计算一个累计的目标值的正确性。

比如插入排序，每次循环从数组A中取出第j个元素插入有序区A[1 .. j-1]，然后递增j。这样A[1 .. j-1]的有序性始终得到保持，这就是所谓的“循环不变”了。

循环不变式主体是不变式，也就是一种描述规则的表达式。其过程分三个部分：初始，保持，终止。
　　1、初始：循环的第一次迭代之前，它为真。
　　2、保持：如果循环的某次迭代之前它为真，那么循环的下次迭代之前它仍为真。
　　3、终止：在循环终止时，循环不变式为我们提供一个有用的性质，该性质有助于我们证明算法是正确的。 
　　在这三个部分中，前两个是条件，最后一个是结论。

利用循环不变式(loop invariant)来证明循环的正确性与用数学归纳法(induction)证明数学等式的相同点在于：

都需要验证初值，或初始状态是否满足条件。
之后再证明在归纳或递推的过程中仍然满足这种条件。（这个条件在数学归纳中叫做递推关系，在循环中就是循环不变式(loop invariant)）。

循环不变式(loop invariant)与数学归纳法(induction)的区别在于：

数学归纳可能是无限的，是无限递推的，但循环不变式所要证明的循环是要结束并给出正确结果的。

 

如何找循环不变式？

由于算法是一步步执行的，那么如果每一步（包括初试和结束）都满足一个共同的条件，那么这个条件就是要找的循环不变式（loop invariant）。

 

二、理解循环不变式

例子：

问题：给出二分查找的实现,函数原形 int seach(int[] array,int target)
array是保存已经从小到大排序好的数字，target是待查找的数字；
若查找成功则返回元素的下标，否则返回-1。

分析：二分查找的原理很简单：
把数组分成三份，中间一份只有一个元素，其他两份个数基本相同，如果中间的元素等于目标值，就返回它的下标；
如果大于，则去前半数组继续执行二分查找；
如果小于，则去后半数组；
直到数组没有元素为止。

这是循环不变式的一个计算机算法应用，我们可以按照它的规则来做，
我们的不变式就是：二分之后子数组的开始下标<=结束下标 
循环结束条件是：二分之后子数组的开始下标>结束下标 

二分查找的代码

package com.spring.test.service.algorithm.sort;

/**
 * 
 */
public class BinarySearch {


    public static void main(String[] args) {
        int[] arry={0,1,2,3,4,5,6};
        System.out.println(seach(arry,7));
    }


    /**
     *
     * @param array 目标数组
     * @param a  确认元素a是在目标数组中
     * @return 如果元素存在目标数组，则返回数组的下标,如果不存在，则返回-1
     */
    public static int seach(int[] array,int a){
        //检测初始时，不变式是否为真
        if(array==null || array.length==0){
            //数组为空，则不存在
            return -1;
        }

        //准备循环
        int leftIndex=0;//数组左端下标
        int rightIndex=array.length-1;//数组右端下标
        int middleIndex;//数组中间下标

        //循环开始
        while(leftIndex<=rightIndex){//rightIndex>=1 就是循环不变式

            middleIndex=(rightIndex+leftIndex)/2;//计算中间位置

            if(array[middleIndex]==a){//分支1:如果中间下标的元素等于目标元素

                return middleIndex;

            }else if(array[middleIndex]>a){//分支2:中间元素大于目标元素，则代表数据在左半部分数组

                rightIndex=middleIndex-1;//把数组右端的下标设置为中间元素下标的前一个

            }else{//分支3:中间元素小于目标元素，则代表数据在右半部分数组

                leftIndex=middleIndex+1;//把数组左端的小标设置为中间元素的下标的后一个
            }
        }
        return -1;
    }
}