【算法和数据结构】算法导论2~3章

一、算法导论2~3章知识点

 

二、函数的增长

1、渐近记号概念

渐近记号主要是用来刻画算法的运行时间

有时候我们对算法的最坏运行时间感兴趣，然而我们常常希望刻画任何输入的运行时间。希望做出一种综合性地覆盖所有输入，而不仅仅是最坏情况的陈述。

 

例子：

如插入排序的算法的运行时间的计算函数：T（n）=4n²-3n

则该插入排序的算法的渐近紧确界的标记符号：θ（n²）（非形式化的表述，扔掉低阶项，去掉高阶项的系数）

则需要证明   C1*n²<=4n²-3n<=C2*n²（其中C1,C2为常量）

推导过程：
1、两边除以n²得到结果：C1<=4-3/n<=C2

2、1<=C1<4，则左边C1<4-3/n成立

3、C2>=1,则4-3/n<=C2成立

结论：
C1=1
C2=2
n0=1

 

 

2、渐近记号

记号	含义	通俗理解
(1)Θ（西塔）	渐近紧确界。	相当于"="
(2)O （大欧）	渐近上界。	相当于"<="
(3)o（小欧）	非紧的上界。	相当于"<"
(4)Ω（大欧米伽）	渐近下界。	相当于">="
(5)ω（小欧米伽）	非紧的下界。	相当于">"

 

 

θ（g(n)）含义

f(n):存在正常量C1,C2,n0,使得对所有n>=n0,有  0<=  C1*g(n)  <=  f(n)  <=  C2*g(n)

则θ（g（n））是函数f（n）的渐近紧确界的表达式

例子: θ（n²） 是插入排序 f(n)=4n²-3n 的渐近紧确界的表达式

 

O(g(n))含义

f(n)：存在正常量C1和n0，使得对所有n>=n0,有0<= f(n)  <= C1*g(n) 

 

3、渐近函数

3、渐近函数的关系