第三节 栈
“栈”是一种先进后出(First In Last Out)或后进先出(Last In First Out)的数据结构。日常生活中也常能见到它的实例，如压入弹夹的子弹，最先压进去的子弹最后射出，而最后压入的子弹则最先发射出来。
“栈”是一种只能在一端进行插入和删除的特殊的线性表，进行插入和删除的一端称为“栈顶”，而不动的一端称为栈底(如下图)。插入的操作也称为进栈(PUSH)，删除的操作也称为出栈(POP)。
出栈 ←─┐ ┌──进栈
│ │ ↓│
├───┤
栈顶→│ an │
├───┤
│ ... │
├───┤
│ a2 │
├───┤
栈底→│ a1 │
└───┘
例1、算术表达式的处理：由键盘输入一个算术表达式(含有+，-，*，/，(，)运算)，且运算结果为整数)，编一程序求该算术表达式的值。
分析：表达式的运算是程序设计中一个基本的问题，利用栈求解是一种简单易行的方法，下面介绍的是算符优先法。
比如：4+2*3-10/5
我们都知道，四则运算的法则是：(1)先乘除后加减，同级运算从左到右；(2)有括号先算括号。
因此上例的结果是8。
算符优先法需要两个栈：一个是操作数栈，用来存放操作数，记为SN；另一个是操作符栈用来存放运算符，记为SP。具体处理方法如下：
(1)将SN，SP置为空栈；
(2)从左开始扫描表达式，若是操作数压入SN中；若是操作符则与SP的栈顶操作符比较优先级有两种可能：
（a）优先级小于栈顶算符，此时从SN中弹出两个操作数，从SP弹出一个操作符，实施运算，结果压入SN的栈顶。
（b）优先级大于栈顶算符，此时将操作符压入SP中。
(3)重复操作(2)直至表达式扫描完毕，这时SP应为空栈，而SN只有一个操作数，即为最后的结果。
为了方便起见，可以将#作为表达式的结束标志，初始化时在SP的栈底压入#，并将其优先级规定为最低。
下面给出的是计算4+2*3-10/5#的示意图
步骤 SN SP 读入字符 │ 说明
─────────────────┼──────────
1 空 # 4 │ 将4压入SN
2 4 # + │ 将+压入SP
3 4 # + 2 │ 将2压入SN
4 4 2 # + * │ 将*压入SP
5 4 2 # + * 3 │ 将3压入SN
6 4 2 3 # + * - │ -的优先级小于*，因此将SN中的3，2弹出，
│ 将SP中的*弹出，将2*3的结果压入SN中
7 4 6 # + - │ -的优先级小于其左边的+，因此将SN中的
│ 4，6弹出，将SP中的+弹出，将4+6的结果压
│ 入SN中
8 10 # - │ -压入SP中
9 10 # - 10 │ 10压入SN中
10 10 10 # - / │ 将/压入SP中
11 10 10 # - / 5 │ 将5压入SN中
12 10 10 5 # - / # │ #优先级小于/，故SN中的10，5弹出，SP中
│ 的/弹出，将10/5的结果压入SN中
13 10 2 # - # │ #优先级小于-，故SN中的10，2弹出，SP中
│ 的-弹出，将10-2的结果压入SN中
14 8 # # │ #与#相遇，运算结束，SN中的8是最后计算
│ 的结果
解：Pascal程序：
Program lt7_3_1；
uses crt；
const number：set of char=['0’..'9']；
op：set of char=['+'，'-'，'*'，'/'，'('，')']；
var expr：string；
sp：array[1..100] of char；
sn：array[1..100] of integer；
t，tp，n，tn：integer；
function can_cal(ch：char)：boolean；
begin
if (ch='#') or (ch=')') or ((sp[tp] in ['*'，'/']) and (ch in ['+'，'-']))
then can_cal：=true else can_cal：=false；
end；
procedure cal；
begin
case sp[tp] of
'+'：sn[tn-1]：=sn[tn-1]+sn[tn]；
'-'：sn[tn-1]：=sn[tn-1]-sn[tn]；
'*'：sn[tn-1]：=sn[tn-1]*sn[tn]；
'/'：sn[tn-1]：=sn[tn-1] div sn[tn]；
end；
dec(tn)；dec(tp)；
end；
begin
clrscr；
write('Expression ： ')；readln(expr)；
write(expr+'=')；
expr：=expr+'#'；
tn：=0；tp：=1；sp[1]：='#'；t：=1；
repeat
if expr[t] in number then
begin
n：=0；
repeat
n：=n*10+ord(expr[t])-48；
inc(t)；
until not (expr[t] in number)；
inc(tn)；sn[tn]：=n；
end
else begin
if (expr[t]='(') or not can_cal(expr[t]) then
begin
inc(tp)；sp[tp]：=expr[t]；inc(t)；
end
else if expr[t]=')' then
begin
while sp[tp]<>'(' do cal；
dec(tp)；inc(t)；
end
else cal；
end；
until (expr[t]='#') and (sp[tp]='#')；
writeln(sn[1])；
end.
练习三
1、假设一个算术表达式中可包含三种括号：圆括号“(”和“)”；方括号“[”和“]”以及花括号“{”和“}”，且这三种括号可按任意的次序嵌套使用，试利用栈的运算，判别给定的表达式中所含括号是否正确配对出现。
分析：如果括号只有一种，比如说是“(”和“)”，则判断是否正确匹配可以这样进行：
用一个计数器T来记录左括号与右括号比较的情况，初始时T=0，表达式从左向右扫描，如果遇到左括号则T←T+1，遇到右括号则T←T-1，中间如果出现T<0的情况，说明右括号的个数大于左括号的个数，匹配出错；扫描结束时，如果T<>0，说明左右括号的个数不相等，匹配出错。
但本题的括号有三种，这里用栈可以较好地解决，方法如下：
(1)将“(”，“[”，“{”定为左括号，“)”，“]”，“}”定为右括号，建一个栈来存放左括号，初始时，栈为空；
(2)从左向右扫描表达式，如果是左括号，则将其压入栈中；如果是右括号则
（a）栈顶是与该右括号匹配的左括号，则将它们消去，重复(2)
（b）栈顶的左括号与该右括号不匹配，则匹配错误；
(3)扫描结束时，若栈非空，则匹配错误。
2、计算四个数：由键盘输入正整数A，B，C，D(1<=A，B，C，D<=10)；然后按如下形式排列：
A□B□C□D=24；在四个数字之间的□处填上加，减，乘，除四种运算之一(不含括号)，输出所有满足条件的计算式子。若不能满足条件，则打印“NORESULT!“。
分析：A，B，C，D四个数的位置已经固定，因此只需将+，-，*，/四种运算符依次放入三个□中，穷举所有可能的情况，再计算表达式的值即可。
数组是大家非常熟悉的，我们可以把它看成是一个长度固定的线性表。本节在研究数组的一些处理方法的同时，还将介绍一些特殊的数组的存储和处理。
例一、矩阵填数：给出N*N的矩阵，要求用程序填入下列形式的数：
25 24 23 22 21
20 19 18 17 16
15 14 13 12 11
10 9 8 7 6
5 4 3 2 1
解：Pascal程序：
Program lt7_4_1；
uses crt；
const max=10；
var a：array[1..max，1..max] of integer；
n：integer；
procedure work1；
var i，j：integer；
begin
for i：=n downto 1 do
for j：=n downto 1 do
a[i，j]：=(n-i)*n+(n-j+1)；
end；
procedure print；
var i，j：integer；
begin
writeln；
for i：=1 to n do
begin
for j：=1 to n do
write(a[i，j]：5)；
writeln；
end；
end；
begin
clrscr；
write('N=')；readln(n)；
work；
print；
end.
例二、在一个矩阵(N*N)中，若上三角中的元素全部为零，如下图所示：
为了节省空间，可用一个一维数组来表示这个矩阵。如右图 1 0 0
可表示成为：(1 2 3 3 0 4)，在此种方法下，编程完成两个 2 3 0
矩阵的加法。 3 0 4
Program lt7_4_2；
uses crt；
const max=1000；
var a，b，c：array[1..max] of integer；
n：integer；
procedure read_data；
var i：integer；
begin
write('N=')；readln(n)；
write('A ： ')；
for i：=1 to n*(n+1) div 2 do
read(a[i])；
write('B ： ')；
for i：=1 to n*(n+1) div 2 do
read(b[i])；
end；
procedure add；
var i：integer；
begin
for i：=1 to n*(n+1) div 2 do
c[i]：=a[i]+b[i]；
end；
procedure print；
var i，j，t：integer；
begin
t：=1；
for i：=1 to n do
begin
for j：=1 to n do
if j>i then write('0'：5)
else begin write(c[t]：5)；inc(t)；end；
writeln；
end；
end；
begin
clrscr；
read_data；
add；print；
writeln('Press any key to exit...')；
repeat until keypressed；
end.
分析：本题应弄清楚下三角形矩阵中压缩存储及矩阵的加法运算法则。
练习四
1、数组的鞍点：己知数组X(M，N)中的所有元素为互不相等的整数，编一个程序，先从每一行元素中找出最小的数，然后再从这些最小的数中找出最大的数。打印出这最大的数和它在数组中的下标。
2、稀疏矩阵：所谓的稀疏矩阵是指矩阵中的非0元素很少的一种矩阵，对于这种矩阵，可以用一个三元组表来存储非0元素，从而达到压缩存储，节省空间的目的。具体方法如下：假设v是稀疏矩阵A中第i行第j列的一个非0元素，那么该非0元素可以用一个三元组(i，j，v)表示；请编一个程序，从文件中读入一个用三元组表表示的稀疏矩阵，然后输出该稀疏矩阵的转置矩阵。(文件第一行为：M，N，K，分别表示稀疏矩阵的行和列以及非0元素的个数，以下K+1行是K个三元组)
3、蛇形填数：给一个N*N矩阵按下列方式填数。
1 3 4 10 11
2 5 9 12 19
6 8 13 18 20
7 14 17 21 24 15 16 22 23 25
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