全0数组判定问题

整理自《大数据算法》（王志宏 哈尔滨工业大学）24页

问题描述

　　给定一个由0、1构成的数组，在不遍历整个数组的情况下，判断它是否为全0数组。

算法描述

　　从数组中随机抽取s个元素，如果样本全是0，就认为它是全0数组。

算法分析

　　对于全0数组来说，无论抽取多少个元素看到的都是0，不会发生误判；

　　对于含有1的数组来说，仅当这s个元素都为0时才会引起误判，那么误判的概率就等于抽取的s个元素都是0的概率。

　　假设共有n个数组元素，其中1有ɛn个，0有(1-ɛ)n个。任意抽取一个元素，它是0的概率为（1-ɛ），抽取s个元素全是0的概率为：

  

　　可见在抽样数s固定的情况下，1的个数比例ɛ趋于1时，误判率δ就会趋于0。

　　这里可以把ɛ视为判断误差。当ɛ=0时，数组中没有1，算法不可能失误，此时误判率为0。当ɛ>0时，如果算法误判为全0数组，即认为数组中1的比例为0，则ɛ的值越大，误判的程度越离谱，但也正如上面所述，这种情况发生的概率会更低。

　　所以这里可用（ɛ，δ）衡量算法的质量，即误差超过ɛ的概率小于δ时，就认为算法是合格的。为此我们需要选取一个合适的抽样数s，令

 

　　由此就可以通过（ɛ，δ）计算出能满足要求的最小s值。

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