DSP复习笔记<1><chapter 8>

06/01/2023

1.声明

本系列属于笔者的博客开荒系列，纯得不能再纯的开荒，快期末了，拿记录复习轨迹练个手，顺便督促一下自己最近懒散的状态。

教材来源：Digital Signal Processing A Computer-Based Approach Fourth Edition（数字信号处理 基于计算机的方法）（用这个版本的学校好像不多不会被同校狙吧）

涉及范围：1—10章，会结合PPT（属于老师个人成果并不会发出来）的范围，因为这本书内容确实多，PPT已经缩减了范围，而考试的范围显然不会超过PPT了。

目的：应试，可以说无任何参考价值😇

作者性情：还可以，不咬人，但是不排除有发疯倾向，你要知道这可是濒临期末的大学牲

排版结构规范（初定版）：1.作者の腹诽：紫笔  2.例题：绿笔   3.作者的人性化解释：橙笔   4.正文：黑笔    5.重点词句强调：红笔  6.标题：蓝笔     7.存疑：粉笔

2.第8章——数字滤波器结构

因为最近要交这章的作业，所以先勉强从这开始看吧。

8.1 框图表示（P297）

1.1 基本结构单元

如图，明白什么叫框图了吧，知道这个表示方式就行。

LTI数字滤波器可以用单位延迟（z^-1）、乘法器、加法器和节点等基本单元构成（上图基本都有）

 

1.2  框图分析

此图为一个级联晶格型的数字滤波器

闲的发慌的话可以手搓一下，步骤要点：

1.把图里所有加法器的输出表达式给列出来

2.然后看看输出间还有什么联系

3.然后就可以搓出来H(z)=Y/X辣，主要就是算

 

1.3 无延迟回路问题

一句话解释：要想知道当前的y[n]值，需要利用当前的y[n]值来计算，在物理上出现了bug，物理上无法实现，知道就行，书上给出了可能的解决方案，但知道就行。

 

1.4典范和非典范结构

框图中延迟器的数量等于传输函数阶数，则称该结构为典范结构（canonic structure）

否则非典范

 

8.2 等效结构（p299）

定义：两个滤波器要是传输函数一样，则称它们的结构等效。

生成等效结构的方法之一：转置运算

     ➡️    

并不是什么抽象的东西哈

仔细观察一下两个图可以看出转置的方法：

1.所有路径的流向被倒转了

2.节点变成加法器，加法器变成节点了

3.X(z)和Y(z)的位置也被换过来了

But，这种万能的方法只能在无限精度运算下万能，现实中由于有限字长限制，某种等效可能会展现出奇特の不同点，因此选择具有良好量化特性实现结构非常重要。

 

8.3 基本FIR数字滤波器结构（进重点了进重点了）

N阶因果FIR滤波器：（传输函数描述版本，看清楚N阶的N是什么嗷）建议记住式子，真的对FIR滤波器有个实感，嗯但我知道记不住

时域描述版本：(8.9)

 

3.1 直接型结构

由式8.9，可以看出N阶数字滤波器有N+1个系数（0开始），所以需要N+1个乘法器和N个两输入加法器实现。

（N=4的一个系统）

可由该结构描述，可以看出阶数为4，延迟器为4，为典范结构。

 

3.2 级联型结构

阶数较高时，可以将传输函数用一阶或二阶传输函数级联实现。

传输函数可因式分解为：（因式分解版本）

其实我看不明白为什么可以这样因式分解

当N为偶数时，K=N/2

N为奇数时，K=（N+1）/2,且β_2k=0.

解释得不是很清楚这块

该图是一个六阶的滤波器，由三个二阶FIR节级联实现，且仍为典范结构

 

3.3 多相实现

这个就有点抽象了

基本思想：传输函数——>多相分解——>并联结构

如何多相分解呢？举例说明

这是个长度为9的因果FIR传输函数

h[0]、h[2]...看成是偶数项系数

h[1]、h[3]...看成奇数项系数

然后就可以分组力

也可以三个一组分

就可以将原式表示为

这就是多相分解

接下来我也看不懂

一般情况下，N阶传输函数L支多相分解形如

其中

一个通式

比如上面的三分支实现起来就是这样的（可以共用延时器的嗷），但是非典范

典范结构是这样的

不清楚长度为9阶数是不是8阶，但这里面确实延迟了8次

 

3.4 线性相位FIR结构

到现在为止3.1—3.4全部在讲FIR结构实现，别绕进去了，提醒一下

据说7.3节提到过（那我这肯定没印象啊，下次写第七章的时候会注意看一下）N阶线性相位FIR滤波器可以用对称冲激响应或反对称冲击响应来描述

在传输函数直接型实现中，考虑到要降低复杂度的问题，利用线性相位的对称或者反对称性质可以减少接近一半的乘法器

例一个具有对称冲激响应的长度为7的1型（为什么是1型呢）传输函数

0123210

可重写为：

然后实现为：

我感觉应该还是典范结构，但是乘法器减少了一半，按照3.1的直接型应该是需要7个乘法器的，这就直接用了四个了。

 

3.5 抽头延迟线

略，不在范围内

 

8.4 基本IIR数字滤波器结构

你别说，我是真一点印象都没了，可能老师在讲的时候我在下面刷视频

进入IIR了进入IIR咯，跟FIR的套路基本一样捏

4.1直接型结构

为了简化起见整了个三阶的（可以看出来IIR一般带分子分母，IIR和FIR的区别到底是啥）

它可以由两个滤波器级联实现

（为一个FIR滤波器）可得到这样的框图

（这就并不是FIR能解决的了）

H₂（z）可以这样表达（时域版本，但到底为啥可以这样写我忘了，看起来和w[n]有很大的关系，是输入，还和y[n]前面几个时刻的反馈有关）

于是就可以得到这样的框图

好了，分开了终究要复合的，但是复合的方式在书里还造了不少幺蛾子

直接I型结构：（三阶用了六个延时器，超级非典范呐）

直接I_t结构：H1、2顺序对调

为了得到典范型，需要共享延时器，得到直接II型结构：

直接型的缺点（书上没说，ppt里的观点）（我不太能懂为什么，好像跟前面的内容有点联系）：

改变一个di（好像是H₂（z）的分母系数）将影响所有极点

改变一个pi（分子系数）将影响所有零点

对有限字长效应敏感，容易出现不稳定现象

所以三阶以上还是用级联并联比较好

（页码提醒，请忽略）18，P306

 

4.2 级联实现

级联的中心思想是高阶转低阶单元级联，所以表达式要先分解开来，如图所示

稍微转一下脑子能看出来这个有36种结构实现方式（但是因为有限字长最终大家还是会有一些区别，这个很玄乎）

通过因式分解（举例）

（三阶转二阶和一阶级联辣）

直接II型级联型

左图要抽象一些，不结合4.1节看都会很抽象咳咳

 

4.3 并联实现

关于部分分式展开，我应该又错过了一个亿。

假设有单极点，H(z)可以表示成这种诡异的样子

并联I型

 

也是假设极点为单极点，但如果问我两者的区别的话，无可奉告，后面学完第六章之后再说。

并联II型

emm,这节看不懂

 

summary:

级联型：每个基本节系数变化只影响本子系统零极点

受有限字长影响比直接小，敏感度小一点

并联型：运算速度快，延时短

各基本节误差互不影响

每个基本节系数变化只影响本子系统零极点

 

8.5 用MATLAB实现基本结构

到了实战演练的时候辣

考虑4阶IIR传输函数，利用Matlab以因式形式表示H(z)，设计它的两个不同级联实现，两个不同的并联实现。

主要是冲着这个题目来的

5.1级联实现

format short
num = input('Numerator coefficients = ');
den = input('Denominator coefficients = ');
Numfactors = factorize(num);
Denfactors = factorize(den);
disp('Numerator Factors'),disp(Numfactors)
disp('Denominator Factors'),disp(Denfactors)

5.2 并联实现

题目写完再补尾

2023-06-02  01:36:19🤡