斐波那契数列时间复杂性的近似证明和精确证明(转)

斐波那契数列可以派生出很多应用，其中，我们知道它的时间复杂性是指数级的，现在就来粗略地证明一下：

斐波那契数列递推式：

F(n)=F(n-1)+F(n-2)

F(1)=F(2)=1

粗略证明可以利用Decision_Tree,为了更直观，我引用另一个恒等函数 f(x)=0 ;x=1,2,3,4,5,............

所以斐波那契数列递推式变形如下：

F(n)=F(n-1)+F(n-2)+f(n)

F(1)=F(2)=1

画出Decision_Tree

//          F(n)=    f(n)
//                /       \
//          f(n-1)         f(n-2)
//         /       \        /   \
//    f(n-2)     f(n-3) f(n-3   f(n-4)
//      .           .     .       .
//     .             .   .         f(2)
//    /    \                        \
//  f(1)  f(2)                       1
//  / \     /\
// 1   1   1  1

因为f(n)恒等于0，所以F(n)等于叶子结点的总和乘以Theta(1).最长链路是最左子树，最短链路是最右子树。

所以有：2^(n/2)<F(n)<2^n，即F(n)=theta(2^n).

精确证明：