2026年5月12日讲题题单

A - 百万富翁

大概就是每次可以询问一对 \((i,j)\) 位置，要求出序列中的最大值是谁。

首先一个直观的想法就是每次两两分组打擂台，然后递归所有胜者，但是我们发现这样不能够通过，因为这个题目要求询问轮数只能是 \(8\)，而我们的这个做法需要询问 log 轮。同时我们可以注意到，我们可以询问的次数是大于 n 的，所以自然可以猜想，我们可以调整最后的几次操作，看看能不能满足要求。

具体的，我们可以设 \(f_{i,j}\) 表示 \(i\) 个人，经过 \(j\) 次轮操作之后只剩下 一个人的代价最小是多少，转移就是 \(f_{i,j} = f_{p, j - 1} + cost(i, p)\)，其中 \(cost(i,p)\) 指的是把 \(i\) 个人经过一轮操作剩下\(p\) 个人的最小代价，显然，因为代价类似于二次函数，所以每一组分成的人数大概一样的时候代价最小，换句话说，我们将所有人划分成 \(p\) 组，每一组之间两两比较，最后每两组之间最多相差一。这个可能还是跑不出来，但是其实这就是个打表题，而且我们可以猜测，前面几次都是两两分组。

B - 元旦激光炮

联合多分！

这是一道交互题。
给你三个排好序的数组，让你在有限次数询问中找到第 \(k\) 小值。

经典做法：先把 \(a,b,c\) 都 resize 到 \(k\) 我们设置 \(l = \lfloor \frac{n}{3} \rfloor\)，接下来询问 \(a[l],b[l],c[l]\) 这三个位置，我们找到这三个值中的最小值，并删除这个最小值所在的数组的前 \(l\) 个元素，容易证明这 \(l\) 个元素不可能是可行的第 \(k\) 小值，所以直接递归到 \(k-l\) 的子问题就行，\(k < 3\) 的时候特殊处理一下。

特别的，对于只有两个数组的时候，我们有更加优秀的做法，联合二分，我们可以每次把两个数组都删去一半，让迭代更快。

C - 生产计划 (Day 2)

好题，首先我们定义 \(L, R\)。

• 如果 \(\forall a_i=l_i\)，求出的答案为 \(L\)。
• 如果 \(\forall a_i=r_i\)，求出的答案为 \(R\)。

先所有位置都取 \(l_i\) 我们考虑给某一个位置增加 \(1\)，最大独立集要么增加 \(1\) ，要么不变，袋券独立集的答案 \(ans \in [L, R]\)。我们仔细思考每个位置从 \(l_i \to r_i\) 的过程，发现一定是一开始它不在独立集里面，然后随着它增大，它进入了独立集，此后每次 \(+1\) 答案都 \(+1\)，我们可以用动态 \(dp\)，维护这个东西，但是太麻烦，我们其实可以使用换根 dp，按照 dfs 序遍历即可。

D - 末日魔法少女计划

确实好题。
首先 \(k = 2\) 的时候是猫树 \(k = logn\) 的时候是线段树。

这题的思路其实还是 dp 构造，我们沿用猫树的构造，每次确定中间的链接点，然后仍然是把剩余区间平均分，但是这里需要注意，两端的点不需要向单边连边，所以可以设置的稍微长一点。

具体 dp 不是很重要，就不写了。

E - 众数

倒着进行二进制分块。

F - 编程测试

首先我们看到这个题目可以建网络流，但是我们肯定不能暴力去跑，注意到这个网络流类似二分图匹配，于是我们考虑霍尔定理，然后二分答案 \(x\) 再用霍尔定理 check，容易发现，只 check 每个区间即可，不需要 check 每一个子集。

然后观察到 \(l=1\) 的特殊性质，我们可以直接用 李超线段树+二分 处理出所有前缀答案。但是 \(l\) 不是 1 怎么办呢，我认为这种问题要么扫描线，要么分治，我们考虑后者，这样我们每次处理跨过当前 mid 的区间，都在左右端点都在左边的，我们只需要用 李超线段树判断是否有交点就行（这个地方好像题解继续用二分，导致复杂度变成 \(O(nlog^3n)\)）。然后跨段的，我们发现左右端点的决策是独立的，所以我们分开用两个可持久化李超线段树，然后二分答案，找到两侧的最值 check 即可。

G - 穿越

没有见过这样的题目，好题。

我竟然没有想出来单组 \(A,B\) 怎么做。

对于单组 \(A,B\)，我们可以用 segment tree beats，我们就只有几个操作

• \([Y1[i], Y2[i]]\) 区间加。
• 查询全局 min
• 全局 (min _+ B) 对全局进行 check min

但是，我们没办法快速回答多组询问，于是我们考虑答案在什么时候取道，经过思考发现，这个答案一定在 横轴为 A 的个数，纵轴为 B 的个数的一个凸包上，于是我们考虑线段树莓哥节点是一个凸包，然后我们在凸包意义下做这个操作就好。

但是注意一下，这个复杂度不是 \(O(n^2 \log n)\) 的，因为 \(A,B\) 个数的值域都是 \([1,n]\) 所以有一个结论，凸包的节点只有 \(n^{\frac{2}{3}}\) 个。

于是复杂度为 \(O(n^{\frac{5}{3}}\log n)\)。

J - Souvenirs

支配对经典题目，其实 \((a_i - a_j)_{min}\) 和 \((a_i + a_j)_{min}\) 都是可以求出来的，不同的是，前者的支配对个数为 \(O(n \log n)\) 但是后者的支配对个数为 \(O(n)\)。

K - rpmtdq

我们知道序列上 \(a_i + a_j\) 的支配对个数是 \(O(n)\) 的，但是现在在树上，我们考虑树上的序列哪里来，容易想到是点分治，这样我们每次把当前连通块内的点到分治中心到距离当作 \(a_i\)，对这个序列统计支配对就好，最后回答询问的时候全部离线，然后扫描线即可。

注：在分治中心 \(rt\) 同一个子树内的点对的距离不是 \(a_i + a_j\) ，但是他的答案我们算大了所以不会影响最终的答案。

L - TEST_199

求出支配对之后，上 K-D Tree。

M - 骰子 / Kostki

推式子题目，设 \(f_i\) 表示刚好跳到 \(i\)，\(g_i\) 表示跳过了 \(i\)，落在 \([i+1,i+k-1]\) 的概率。推式子不想讲。