2026年5月16日讲题题单

[mylink](file:///Users/dongwang/Downloads/5.16zhk.pdf)

A - Занулити пiдвiдрiзок

首先观察发现我们至少要把 \(x\) 加到最大值到最高二进制位，接下来我们可以考虑增大 x，那么小于等于 x 的数字都会只用一次，其他两次，具体式子：

然后我们维护字典序最大的一组匹配，实际上类似于前缀线性积，只不过这次在线段树上了。

一些思考

到底什么样的区间信息可以使用类似前缀线性积的思想（时时维护最大字典序）来解决呢。我觉得其实是在元素在不考虑字典序位置的情况下等价。
在这题中就是，我们发现在线段树中加入一个数字之后如果不满足匹配了，那么我们随意删除比最前面不满足要求的位置的 \(s_i\) 小的任意一个位置都行。

B - Increment and Swap

列出式子：
\(\sum_{i=1}^n \left( b_i - a_i + \sum_{j=1}^{i-1} [b_j > b_i] \right)\)，其中 \(- a_i\) 是固定的。
然后我们可以感觉到，直接在当前 i 位置选择最优解，也就是 \(min( b_i + \sum_{j=1}^{i-1} [b_j > b_i])\) 即可，
如果当前位置不选择最优解，而选择了一个更小的数字，那么他的好处就是对后面有贡献，但是我们可以证明这个是没有用的，其实感性理解就发现在后面选择会更加不优。
证明可以戳这里

E - 乘积的期望

乘积的期望的组合意义

首先，对于乘积的期望我们不好做，于是考虑乘积的组合意义，我们首先假设每个点都向后走，然后如果对一个后缀 \([j, n]\) 加上 \(1\)，就相当于走到 \(j\) 的时候，我们捡起来了一个小工具，我们接下来每次移动，都可以选择用小工具走，或者走原来的边 \(a_i\)，这样发现其实就是把乘积用乘法分配律拆开，正确性显然。

但是具体实现的时候，我们一般设 \(f_{i,j}\) 为走到位置 \(i\) 已经使用过的小工具为 \(j\) 个的总乘积和，每次转移的时候，考虑

• 使用的是哪个小工具。
• 这个小工具有多少种出现的位置。

tip

可以设想一下，我们不这样 dp，那么可以设 \(f_{i,j}\) 表示到了第 \(i\) 个位置，有 \(j\) 个小工具在前面。
但是发现这样转移复杂度比较高，因为相同位置上的小工具需要用组合数去计算。
那么，对于每一个 \(f_{i,j}\) 转移的时候，都需要枚举位置 \(i\) 上选了多少个小工具，直接就到了，\(O(n^3)\)。

具体到本题

操作 c 次，每次以 b_i 的概率，进行长度为 m 左端点为 i 的区间加。问最后乘积的期望.

发现是区间加，区间 \([l,r] + 1\)，我们就拆成 \([l,n] + 1, [r + 1, n] - 1\)。
因为每个位置加的概率不一样，所以我们当作每个位置会被选 \(b_i\) 次，最后都除以 \((\sum b_i)^c\) 即可。

但是我们发现，我们如果要选择之前已经选择过的小工具来转移，这个小工具和我的距离也不能超过 \(m\) 这是难以记录的，我们考虑压缩一个 \(m\) 位的二进制状态来记录。

抽象一下这个问题

假设我们同时使用一个小工具转移的位置集合位置为 \(x_1,x_2,x_3,\dots,x_k\)，我们需要满足 \(x_k - x_1 + 1 \leq m\)

于是我们可以在状态 \(S\) 中记录每个集合的 \(x_1\) 然后每次转移的时候考虑四种情况：

• 作为 \(x_1\) 出现
• 自己成为一个完整的集合
• 作为 \(x_i, 1 < i < k\) 出现
• 作为 \(x_k\) 出现，并计算可以覆盖这个集合的可行的左端点种类数。

然后发现这样只能通过 \(m \leq 16\) 的部分分，考虑 \(m > 16\) 的时候 \(\frac{n}{m} < 3\) 比较小， 于是我们可以在一个 \(3\times m\) 的网格上 dp，具体的设 \(f_{i,a,b,c,d}\) 表示左端点在 \(a,b,c,d\) 的块分别有多少个。

可以发现 \(i\) 的值为 \(a\)，\(i+m\) 的值为 \(b+c\)，\(i+2\times m\) 的值为 \(d\) （第三行一定没有操作左端点）。

然后这样写之后，发现运行第三个样例 RE 了！！！
原来 c 有这么大，但是我们可以根据做法 1 发现答案是一个关于 \(c\) 的 \(n\) 次多项式，所以我们拉格朗日插值就做完了。

G - Arkady and Rectangles

势能分析下的正确扫描线。以区间内剩余还没有被看见的矩形为势能。