傅里叶级数

基本信号

傅里叶级数主要用于周期信号的表示。

常见的周期信号基本用三角函数信号和复指数信号表示。

$$x(t)=\cos w_{0}t$$	余弦信号
$$x(t)=e^{w_{0}t} $$	复指数信号

周期信号函数中，W₀为基波频率，T=2π/w₀基波周期，为最小非零正值。

傅里叶级数

当上面多个周期信号通过线性组合形成新的信号，以复指数信号为例：

$$ x(t) = \sum_{k=-\infty }^{+\infty} a_{k} e^{jkw_{0}t} =\sum_{k=-\infty }^{+\infty} a_{k} e^{jk(2\pi /T)t} $$

傅里叶级数

在x(t)为一个实信号，可由傅里叶级数另一个形式表示，当x*(t)=x(t)时，可得下式

$$ x(t) = \sum_{k=-\infty }^{+\infty} a_{k}^{*}  e^{-jkw_{0}t}$$

 -k代替k时，则有

$$ x(t) = \sum_{k=-\infty }^{+\infty} a_{-k}^{*}  e^{jkw_{0}t}$$

$$上式与傅里叶复指数级数表示式比较可知， a_{k}=a_{-k}^{*}时，或者 a_{-k}=a_{k}^{*}$$

则x(t)中系数a_k为实数时，导出的另一种形式：

$$x(t) =a_{0} + \sum_{k=1 }^{\infty} [a_{k}e^{jkw_{0}t}+a_{-k}e^{-jkw_{0}t}] = a_{0} + \sum_{k=1 }^{\infty} [a_{k}e^{jkw_{0}t}+a_{k}^{*} e^{-jkw_{0}t}]$$

由于式中共轭关系，则可表示为：

$$x(t) =a_{0} + \sum_{k=1 }^{\infty} 2Re\{a_{k}e^{jkw_{0}t}\}$$

当a_k用极坐标形式给出时：

$$a_{k} = A_{k}e^{j\theta _{k}}$$

$$x(t) =a_{0} + \sum_{k=1 }^{\infty} 2Re\{A_{k}e^{j(kw_{0}t+\theta _{k})}\}$$

通过欧拉公式可知：

$$e^{jt}=\cos t+j \sin t$$	欧拉公式
$$x(t) =a_{0} +2 \sum_{k=1 }^{\infty}A_{k}\cos({kw_{0}t+\theta _{k}})$$	三角函数表示式，此式为实周期信号常见到的傅里叶级数的表示式

 若a_k用笛卡尔坐标形式表示时，则可表示为：

$$a_{k}=B_{k}+jC_{k}$$	笛卡尔坐标式表示，其中Bk和Ck都是实数
$$x(t) =a_{0} +2 \sum_{k=1 }^{\infty}[B_{k}\cos{kw_{0}t}-C_{k}\sin{kw_{0}t}]$$	笛卡尔坐标式下，实周期信号的傅里叶级数表示式