博弈论

7. 博弈论

信息学一般关注的是组合博弈，组合博弈论主要关注以下类型：两人轮流行动的、完美信息、无随机因素的博弈

组合博弈一般分为 公平组合博弈 和 非公平组合博弈。

还可以按照是最后一个行动的人胜利/失败 划分为 正常博弈 和 反常博弈。

7.1 公平组合博弈

一个游戏是公平组合游戏，通常满足：

1. 两名玩家轮流操作。
2. 当前玩家可做的操作只取决于当前局面，与是谁无关。
3. 游戏有限，不存在无限循环。

这是识别出这是公平组合游戏的重要方法。

公平组合游戏里，最常用的工具是 SG 函数和 SG 定理（Sprague–Grundy 定理）。

在说这两个之前，我们先说一下 N-position（先手必胜态） 和 P-position（先手必败态）。

注意，这里的先手和后手指的是面对当前状态，先操作的人和后操作的人，与全局的先手后手无关。

若一个状态是 N-position，当且仅当它存在一个后继状态是 P 态。

若一个状态是 P-position，当且仅当它所有后继状态都是 N 态。

但是有的题目，他的后继太多，难以刻画，所以就发明了 \(SG\) 函数。

SG函数，定义 $SG(S)=\mathrm{mex}_{T是S的后继状态} SG(T) $

在正常博弈中：

• 当 \(SG(S)=0\) 时，是必败态。
• 当 \(SG(S) \ne 0\) 时，是必胜态。

你可能会说，这也没有优化什么啊，还是要找完他的后继。

但是其实，很多时候 \(SG\) 可以观察规律。而且当一个游戏由若干个独立子游戏组成，是难以用 NP 状态直接分析的，这个时候只能尝试用 \(SG\) 分析，因为 \(SG\) 函数有一个重要的性质：

\[SG(整体)=\oplus _{i=1}^n SG(i) \]

也就是整体的 \(SG\) 值就是所有独立游戏的 SG 的异或和。

\[\text{先手必胜} \iff \text{整体 SG 值} \neq 0 \]

证明好像不太重要，记结论即可。

反常博弈中，并不是直接把全部反过来就行了，他有不同的博弈逻辑。

7.2 零和博弈

在算法竞赛中常见的零和游戏大致可分为两类：序贯零和游戏与同时零和游戏。

零和博弈有两个人，称为 A人 和 B人，他们两个人交替行动，A人要自己收益最大，B人也要自己收益最大，但是 A人 和 B人 的总收益是固定的，所以 A人吃的越多，B人吃的越少。

表示成：

\[v_A(s)+v_B(s)=T \]

所以 B人 要自己收益最大，肯定要让 A人 收益最小。A人 对 B人 同理。

两人对称，我们钦定 A人先手。

Minimax 和 alpha-beta 剪枝：

从游戏结束开始往前推，令 \(S_0\) 为结束状态集合，\(S_1\) 为A人行动状态集合，\(S_2\) 为B人行动状态集合。

\(V(s)\) 是当前局面的 值函数

\[V(s) = \begin{cases} v(s), & s \in S_0, \\ \max_{t \in s} V(t), & s \in S_1, \\ \min_{t \in s} V(t), & s \in S_2. \end{cases} \]

放到博弈树上就是：

（图片摘自oiwiki。）

在奇数层（从上往下的），是A人操作，他要最大化自己收益，在偶数层，是B人操作，他要最小化 A人的收益。

朴素的 Minimax 可以直接用大力搜索。

显然这个复杂度我们无法接受。

所以就有了 Alpha-Beta 剪枝，这个东西其实很简单，听的比较高级，本质上就是最优性剪枝。

对于取 \(\max\) 的节点，我们在搜索的时候令 \(\alpha\) 表示当前找到的最大值。

对于取 \(\min\) 的节点，我们在搜索的时候令 \(\beta\) 表示当前找到的最小值。

实际上在不进行剪枝的情况下，整个博弈树跑完，取 \(\max\) 的节点上的权值就等于他自己的 \(\alpha\)。而取 \(\min\) 的节点上的权值就等于他自己的 \(\beta\)。

如果对于一个取 \(\min\) 的节点 \(u\)，他有一个儿子 \(v\)，若 \(\alpha_v > \beta_u\) 这个儿子就不用再搜下去了，因为B人在 \(u\) 节点（状态）下肯定不会走到 \(v\) 节点了。他有一个可以让 A人获得更少的做法，在之前遍历到了。