CF1428G2 Lucky Numbers (Hard Version) 解题报告

CF1428G2 Lucky Numbers (Hard Version) 解题报告

非常棒的一个背包 dp 题目。

需要一些观察和注意，然后转化成普通的多重背包。

第一个观察：可以发现，\(0\) 也可以作为幸运数字。

第二个观察：改变两个数字相同位置上的数，只要这个数位上的和不变，对答案没有任何影响。

有了这两个观察之后，我们发现，对于所有数的同一个数位，最多只会有一个非幸运数字的数。如果有两个 \(a,b\) 都不是幸运数字，我们可以通过调整让他变成一个是幸运数字，一个不是。

调整方法是这样的：

1. 如果 \(a+b>9\)，让一个变成 \(9\)，另一个变成 \(a+b-9\)，即可。
2. 否则，让一个变成 \(0\)，另一个变成 \(a+b\) 就行。

之后，我们可以通过交换两个数的同一个数位，把所有非幸运数字的全部叠到一个数上。

所以我们得到 一个结论：

我们可以构造出一种有 \(k-1\) 个数每个数位都是由 \(0,3,6,9\) 组成的，有一个数是平凡的方案使得它的幸运值是最大的，也就是这是最优解之一。

接下来考虑多重背包，设 \(f_a\) 表示各个数字和为 \(a\) 的最大幸运值。

先特殊处理了平凡的数，从 \(0\) 到 \(999999\) 枚举一次，让 \(f_i=\sum_{x} [i_x \% 3=0] \frac{x}{3} F_x\)。

第三个观察： 如果一个数位填 \(6\)，那么相当于填两个 \(3\)，如果填 \(9\) 就相当于填 \(3\) 个 \(3\)。

之后，对于每一个数位，我们全部一起做，只需要考虑都是幸运数字就行了。

接下来相当于是有 \((k-1)\) 个数字的这个数位都可以填 \(0~3\) 个 \(3\)，所以有 \(3(k-1)\) 个这样的物品，每一个重量是 \(3\times 10^{这是第几位}\)，价值是 \(F_{这个数位}\)。

那么显然可以用二进制分组优化一下这个多重背包，然后就做完了。