数学基础

数学基础

1. 欧拉函数

int phi(int n)
{
	int m = (int)sqrt(n);
	int ans=n;
	for (int i=2;i<=m;i++)
		if (n%i==0)
		{
			ans=ans / i * (i-1);
			while (n%i==0) n/=i;
		}
		if (n>1) ans=ans / n * (n-1);
	return ans;
}

2. 欧拉函数表

void phi_table(int *a, int n)  
{
	memset(a,0,sizeof(int)*(n+1));
	a[1]=1;
	for (int i=2; i<=n; i++)
		if (!a[i])
			for (int j=1; j<=n; j+=i)
			{
				if (!a[j]) a[j]=j;
				a[j]=a[j]/i*(i-1);
			}
}

3. gcd lcm

int gcd(int a, int b) { return (b==0) ? a : gcd(b, a%b); }
int lcm(int a, int b) { return a / gcd(a,b) * b; }

4.素数筛

bool visited[N]; // 如果被筛，设为true
int primes[N], n=0; // 素数表
memset(visited,0,sizeof(visited));
for (i=2;i<N;i++)
	if (!visited[i])
	{
		primes[n++]=i;
		for (j=i+i;j<N;j+=i) visited[j]=true;
	}

5. 不相邻组合
   \(H(n,m)={n-m+1 \choose m}\)
6. 排列组合
   排列：指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序

组合：组合则是指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素，不考虑排序

\(A_n^m = \frac{fac[n]}{fac[n-m]}\\ C_n^m={n \choose m} = \frac{fac[n]}{fac[m]\cdot fac[n-m]} = \frac{A_n^m}{fac[m]}\)

• 加法原理
  第一类办法中有 \(m_1\) 种不同的方法，在第二类办法中有 \(m_2\) 种不同的方法，……，在第 \(n\) 类办法中有 \(m_n\) 种不同的方法，那么完成这件事共有 \(N=m_1+m_2+m_3+…+m_n\) 种不同方法
• 乘法原理
  做一件事，完成它需要分成 \(n\) 个步骤，做第一步有 \(m_1\) 种不同的方法，做第二步有 \(m_2\) 种不同的方法，……，做第\(n\) 步有 \(m_n\) 种不同的方法，那么完成这件事共有 \(N=m_1×m_2×m_3×…×m_n\) 种不同的方法。

7. 二项式定理
   \(\large{(a+b)^n=\sum_{i=0}^n{n\choose i}a^ib^{n-i}}\\\)
   很好理解，每个 \((a+b)\) 中可以选出 \(a\) 或 \(b\)，最终有 \(k\) 个 \(a\) 的方案数就是 \(n \choose k\)

其他变形，在部分题可以应用
\(\large{(a-b)^n=\sum_{i=0}^n(-1)^{n-i}{n\choose i}a^ib^{n-i}}\\ \large{\frac{(a+b)^n+(a-b)^n}{2}=\sum_{i为偶数}^n{n \choose i}a_{n-i}b^i}\)

• 杨辉三角
  
  容易发现其与二项式系数有着对应关系