3D数学基础：图形和游戏开发（第2版） 第一章 笔记
3D数学基础：图形和游戏开发（第2版） 第一章 笔记
供参考和备忘用
笛卡尔坐标系
一维数学
数的分类
实数（real number）
实数分为有理数和无理数两大类，实数和数轴上的点一一对应。
有理数（rational number）
有理数的英文是 rational number，这个词来源于古希腊，其英文词根为 ratio，比率的意思。简单来说，有理数就是一个整数与另一个整数的比。整数可以看做是分母为1的分数。有理数的小数部分是有限或无限循环的数（如，\(\frac{1}{3}\)）。
无理数（irrational numbers）
无理数，也称为无限不循环小数（如,π），不能写作两整数之比。
分数（fraction）
上面把分数分为了正分数和负分数，但还可以分为：真分数和假分数。
真分数（Proper Fraction）：分子比分母小。
假分数（Top-heavy/Improper Fraction）：分子比分母大。
计算机图形学第一定律
如果它看起来正确，那就是对的。
二维笛卡尔空间
二维笛卡尔坐标空间就是我们常说的直角坐标系，二维笛卡尔坐标空间是可以无限延伸的。二维笛卡尔坐标空间由以下两条信息定义：
- 每个二维笛卡尔坐标空间都有一个特殊的位置，称为原点（Origin），它是坐标的中心。
- 每个二维笛卡尔坐标空间都有两条直线通过原点，每条线都称为轴（Axis），并且可以在两个相反的方向上无限延伸。
三维笛卡尔空间
左手坐标系
X轴的正方向指向右边，Y轴的正方向指向上边，Z轴的正方向指向前面（屏幕里面）。
右手坐标系
X轴的正方向指向右边，Y轴的正方向指向上边，Z轴的正方向指向你自己（屏幕外面）。
左手坐标系与右手坐标系的转换
交换一个轴的正负端即可。
左旋坐标系
首先左手握拳，然后竖起大拇指，大拇指指向旋转轴的正方向（正值端）；此时，围绕旋转轴的正向旋转方向就是其它四个手指卷曲的方向。在左手坐标系中，从旋转轴的正向看正向旋转的方向是顺时针的。
右旋坐标系
首先右手握拳，然后竖起大拇指，大拇指指向旋转轴的正方向（正值端）；此时，围绕旋转轴的正向旋转方向就是其它四个手指卷曲的方向。在右手坐标系中，从旋转轴的正向看正向旋转的方向是逆时针的。
一些零散的基础知识介绍
求和和求积的表示法
求和表示法（Summation Notaion）
求和表示法是写出事物列表总和的简写方法。有点像 for 循环。
下方的求和公式表示：\(a_i\)从\(i\)开始取数，一直取到n，全部加起来。
- 求和符号：\(\sum\)，也称为西格玛符号，因为看起来像E的符号(\(\Sigma\))其实是希腊字母sigma的大写版本。
- 求和符号下方的变量 \(i\) 称为索引变量（Index Variable），表示\(a\)从\(i\)开始取数。
- 求和符号的上方 \(n\) 表示\(a\)取数结束的位置。
求积表示法（Quadrature Notation）
与上方求和的方式类似，只是把求和变成了求积，把符合\(\Sigma\)变成了\(\Pi\)
区间符号
闭区间（Closed Interval）也称为包含（Inclusive）区间，用” \([\) ”和” \(]\) ”表示。
开区间（Open Interval）也称为排除（Exclusive）区间，用” \((\) ”和” \()\) ”表示。
- \([a,b]\)：表示所有\(x\)的取值都满足：\(a \leq\ x \leq\ b\)
- \((a,b)\)：表示所有\(x\)的取值都满足：\(a < x < b\)
- \([a,b)\)：表示所有\(x\)的取值都满足：\(a \leq\ x < b\)
- \((a,b]\)：表示所有\(x\)的取值都满足：\(a < x \leq\ b\)
角度、度数和弧度
角度可以用度数（Degree）和弧度（Radian）表示。
一度（\(1^\circ\)）：表示旋转\(1/360\)，\(360^\circ\)表示旋转完整的一圈。
一弧度(\(1_{rad}\))：表示弧长等于半径的长度所对的圆心角，所有\(2\pi\)表示一个完整的圆周。
度数与弧度的互相转换
一个完整的圆可以用弧度\(2\pi\)表示，也可以用度数\(360^\circ\)表示，所以，\(2\pi = 360^\circ\)。
- 弧度转角度
\(1^\circ = (2\pi / 360)_{rad}\)
=> \(角度值 = (\pi / 180) \times\ 弧度值\)
- 角度转弧度
\(1_{rad} = (360 / 2\pi)^\circ\)
=> \(弧度值 = (180 / \pi) \times\ 角度值\)
数字360
数字360是一个相对随意的选择，可能源于原始日历，例如波斯日历，将一年分为360天。此错误从未更正为365，因为数字360非常方便，数字360拥有多达22个的整除数（不算它自己和1）。这意味着很多情况下都可以均匀的分360而不需要分数，这对于早期文明来说显然是一件好事。早在公元前1750年，巴比伦人就设计了一个六十进制的数字系统。数字360也足够大，使得在许多情况下精确到最接近的整数度数就已经足够了。
三角函数
在一个直角三角形中，斜边为：\(r\)，其中一条直角边为：\(x\)，另一条直角边为：\(y\)，直角边\(x\)与斜边\(r\)的夹角为：\(\theta\)，则：
- 正弦：\(sin\theta = {y} / {r}\)（对边 / 斜边）
- 余弦：\(cos\theta = {x} / {r}\)（邻边 / 斜边）
- 正切：\(tan\theta = y / x\)（对边 / 邻边）
- 正割：\(sec\theta = {r} / {x}\)（斜边 / 邻边）
- 余割：\(csc\theta = {r} / {y}\)（斜边 / 对边）
- 余切：\(cot\theta = {x} / {y}\)（邻边 / 对边）
可推导出：
\(sin\theta = \dfrac{1}{csc\theta}\)
\(cos\theta = \dfrac{1}{sec\theta}\)
\(tan\theta = \dfrac{1}{cot\theta} = \dfrac{sin\theta}{cos\theta}\)
三角函数的恒等式
对称性相关的基本恒等式
- \(sin(-\theta) = -sin\theta\)
- \(cos(-\theta) = cos(\theta)\)
- \(tan(-\theta) = -tan\theta\)
- \(sin(\frac{\pi}{2} - \theta) = cos\theta\)
- \(cos(\frac{\pi}{2} - \theta) = sin\theta\)
- \(tan(\frac{\pi}{2} - \theta) = cot\theta\)
毕达哥拉斯定理
也就是我们常说的：勾股定理。表示在直角三角形中，两条直角边的平方的和等于斜边的平方。
毕达哥拉斯定理在单位圆中，可以导出以下恒等式：
- \(sin^2\theta + cos^2\theta = 1\)
- \(1 + tan^2\theta = sec^2\theta\)
- \(1 + cot^2\theta = csc^2\theta\)
两角的和与差恒等式
- \(sin(\alpha+\beta) = sin\alpha \times\ cos\beta + cos\alpha \times\ sin\beta\)
- \(sin(\alpha-\beta) = sin\alpha \times\ cos\beta - cos\alpha \times\ sin\beta\)
- \(cos(\alpha+\beta) = cos\alpha \times\ cos\beta - sin\alpha \times\ sin\beta\)
- \(cos(\alpha+\beta) = cos\alpha \times\ cos\beta + sin\alpha \times\ sin\beta\)
- \(tan(\alpha+\beta) = \dfrac{tan\alpha + tan\beta}{1 - tan\alpha \times\ tan\beta}\)
- \(tan(\alpha-\beta) = \dfrac{tan\alpha - tan\beta}{1 + tan\alpha \times\ tan\beta}\)
正弦定理
在任意\(\Delta ABC\)三角形中，角\(A\)、\(B\)、\(C\)所对的边长分别为\(a\)、\(b\)、\(c\)，三角形外接圆的半径为\(R\)，则有：
余弦定理
在任意\(\Delta ABC\)三角形中，角\(A\)、\(B\)、\(C\)所对的边长分别为\(a\)、\(b\)、\(c\) ，则有：
- \(a^2 = b^2 + c^2 - 2 \times\ b \times\ c \times\ cosA\)
- \(b^2 = a^2 + c^2 - 2 \times\ a \times\ c \times\ cosB\)
- \(c^2 = a^2 + b^2 - 2 \times\ a \times\ b \times\ cosC\)
