剑指offer-67、剪绳⼦

题目描述

给你⼀根⻓度为n 的绳⼦，请把绳⼦剪成整数⻓的m 段（ m 、n 都是整数， n>1 并 且m>1 ， m<=n ），每段绳⼦的⻓度记为k[1],...,k[m]。请问k[1]x...xk[m] 可能的最⼤乘积是多少？例如，当绳⼦的⻓度是8 时，我们把它剪成⻓度分别为2 、3 、3 的三段，此时得到的最⼤乘积是18`。

输⼊描述:输⼊⼀个数n，意义⻅题⾯。（2 <= n <= 60）

返回值描述:输出答案。

示例1
输⼊：8
返回值：18

思路及解答

备忘录

本题的解答思路就是每个⻓度的绳⼦，要么最⻓的情况是不剪开（⻓度是本身），要么⻓度是剪开两段的乘积。因此每个⻓度 length 都需要遍历两个相加之后等于 length 的乘积，取最⼤值。

初始化值⻓度为 1 的值为 1 ，从⻓度为 2 开始，每⼀种⻓度都需要遍历两个⼦⻓度的乘积。

显然，为了避免多次重复计算，可以写个备忘录

public class Solution {
	public int cutRope(int target) {
		if (target <= 1) {
			return target;
		}
		int[] nums = new int[target + 1];
		nums[1] = 1;
		nums[0] = 1;
		for (int i = 2; i <= target; i++) {
			int max = i;
			for(int j=0;j<=i/2;j++){
				int temp = nums[j] * nums[i-j];
				if(temp > max){
					max = temp;
				}
			}
			nums[i]=max;
		}
		return nums[target];
	}
}

动态规划

⽤动态规划的思维来做，假设绳⼦⻓度为 n 的 最⼤的⻓度为 f(n) ，那你说 f(n) 怎么计算得来呢？

1. f(n) 可能是 n(不切分)
2. 也可能是 f(n-1) 和 f(1) 的乘积
3. 也可能是 f(n-2) 和 f(2) 的乘积
4. ......

那么也就是想要求 f( n ) 我们必须先把 f(n-1) ， f(n-2) ...之类的前⾯的值先求出来， f(1)=1 这是初始化值。

public class Solution {
	public int cutRope(int target) {
		int[] dp = new int[target + 1];
		dp[1] = 1;
		for (int i = 2; i <= target; i++) {
			for (int j = 1; j < i; j++) {
				dp[i] = Math.max(dp[i], (Math.max(j, dp[j])) * (Math.max(i - j, dp[i - j])));
			}
		}
		return dp[target];
	}
}

• 时间复杂度：O(n²)，外层循环n-3次，内层循环i/2次
• 空间复杂度：O(n)，需要dp数组存储中间结果

贪心算法（最优解）

基于数学推导的贪心策略，优先剪出长度为3的段。当n≥5时，优先剪出长度为3的段；剩余4时剪成2×2

为什么选择3？

1. 数学证明：当n ≥ 5时，3(n-3) ≥ 2(n-2) > n
2. 接近自然底数e：最优分段长度应接近e ≈ 2.718，3是最接近的整数
3. 4的特殊处理：2×2 > 3×1，所以剩余4时剪成2×2而不是3×1

public class Solution {
    public int cutRope(int n) {
        // 特殊情况处理
        if (n <= 3) return n - 1;
        
        // 计算可以剪出多少段长度为3的绳子
        int countOf3 = n / 3;
        
        // 处理剩余部分：当剩余长度为1时，调整策略
        if (n - countOf3 * 3 == 1) {
            countOf3--; // 减少一段3，与剩余的1组成4
        }
        
        // 计算剩余部分能剪出多少段长度为2的绳子
        int countOf2 = (n - countOf3 * 3) / 2;
        
        // 计算结果：3的countOf3次方 × 2的countOf2次方
        return (int)(Math.pow(3, countOf3)) * (int)(Math.pow(2, countOf2));
    }
}

• 时间复杂度：O(1)，只有常数次操作
• 空间复杂度：O(1)，只使用固定变量

数学公式法（理论最优）

根据n除以3的余数直接套用公式

public class Solution {
    public int cutRope(int n) {
        if (n <= 3) return n - 1;
        
        int countOf3 = n / 3;
        int remainder = n % 3;
        
        // 根据余数直接返回结果
        if (remainder == 0) {
            return (int) Math.pow(3, countOf3);
        } else if (remainder == 1) {
            return (int) Math.pow(3, countOf3 - 1) * 4;
        } else { // remainder == 2
            return (int) Math.pow(3, countOf3) * 2;
        }
    }
}

• 时间复杂度：O(1)
• 空间复杂度：O(1)