剑指offer-65、矩阵中的路径

题目描述

请设计⼀个函数，⽤来判断在⼀个矩阵中是否存在⼀条包含某字符串所有字符的路径。路径可以从矩阵中的任意⼀个格⼦开始，每⼀步可以在矩阵中向左，向右，向上，向下移动⼀个格⼦。如果⼀条路径经过了矩阵中的某⼀个格⼦，则该路径不能再进⼊该格⼦。 例如矩阵：

中包含⼀条字符串 " bcced " 的路径，但是矩阵中不包含 " abcb " 路径，因为字符串的第⼀个字符 b占据了矩阵中的第⼀⾏第⼆个格⼦之后，路径不能再次进⼊该格⼦。

示例1

输⼊：[[a,b,c,e],[s,f,c,s],[a,d,e,e]],"abcced"
返回值：true

思路及解答

DFS回溯

主要的思路是对于每⼀个字符为起点，递归向四周拓展，然后遇到不匹配返回 false ，匹配则接着匹配直到完成，⾥⾯包含了 回溯 的思想。步骤如下：

针对每⼀个字符为起点，初始化⼀个和矩阵⼀样⼤⼩的标识数组，标识该位置是否被访问过，⼀开始默认是false 。

1. 如果当前的字符索引已经超过了字符串⻓度，说明前⾯已经完全匹配成功，直接返回 true
2. 如果⾏索引和列索引，不在有效的范围内，或者改位置已经标识被访问，直接返回 false
3. 否则将当前标识置为已经访问过
4. 如果矩阵当前位置的字符和字符串相等，那么就字符串的索引加⼀，递归判断周边的四个，只要⼀个的结果为 true ，就返回 true ，否则将该位置置为没有访问过（相当于回溯，退回上⼀步），返回 false 。矩阵当前位置的字符和字符串不相等，否则同样也是将该位置置为没有访问过（相当于回溯，退回上⼀步），返回 false 。

⽐如查找 bcced :

public class Solution {
    public boolean hasPath(char[][] matrix, String word) {
        // write code here
        if (matrix == null || word == null || word.length() == 0) {
        	return false;
        }
        
        for (int i = 0; i < matrix.length; i++) {
            for (int j = 0; j < matrix[0].length; j++) {
                boolean[][] flags = new boolean[matrix.length][matrix[0].length];
                
                boolean result = judge(i, j, matrix, flags, word, 0);
                if (result) {
                	return true;
                }
            }
        }
        return false;
   }
    
   public boolean judge(int i, int j, char[][] matrix, boolean[][] flags, String words, int index) {
        if (index >= words.length()) {
        	return true;
        }
       
        if (i < 0 || j < 0 || i >= matrix.length || j >= matrix[0].length || flags[i][j]) {
        	return false;
        }
        flags[i][j] = true;
        
        if (matrix[i][j] == words.charAt(index)) {
            if (judge(i - 1, j, matrix, flags, words, index + 1)
            || judge(i + 1, j, matrix, flags, words, index + 1)
            || judge(i, j + 1, matrix, flags, words, index + 1)
            || judge(i, j - 1, matrix, flags, words, index + 1)) {
            	return true;
            } else {
                flags[i][j] = false;
                return false;
        	}
        } else {
            flags[i][j] = false;
            return false;
        }
    }
}

• 时间复杂度：O(3^k × m × n)，其中k为单词长度，m、n为矩阵尺寸。每个点有3个方向可选（不能回退）
• 空间复杂度：O(k)，递归栈深度和visited数组空间

方向数组优化

使用额外的访问标记数组来记录路径状态。

public class Solution {
    public boolean exist(char[][] board, String word) {
        if (board == null || board.length == 0 || board[0].length == 0 || word == null) {
            return false;
        }
        
        int m = board.length, n = board[0].length;
        boolean[][] visited = new boolean[m][n];
        char[] words = word.toCharArray();
        
        // 遍历矩阵中的每个单元格作为起始点
        for (int i = 0; i < m; i++) {
            for (int j = 0; j < n; j++) {
                if (dfs(board, visited, words, i, j, 0)) {
                    return true;
                }
            }
        }
        return false;
    }
    
    private boolean dfs(char[][] board, boolean[][] visited, char[] word, int i, int j, int index) {
        // 终止条件1：找到完整路径
        if (index == word.length) {
            return true;
        }
        
        // 终止条件2：越界或已访问或字符不匹配
        if (i < 0 || i >= board.length || j < 0 || j >= board[0].length || 
            visited[i][j] || board[i][j] != word[index]) {
            return false;
        }
        
        // 标记当前单元格为已访问
        visited[i][j] = true;
        
        // 向四个方向进行DFS搜索
        boolean found = dfs(board, visited, word, i + 1, j, index + 1) ||  // 向下
                       dfs(board, visited, word, i - 1, j, index + 1) ||  // 向上
                       dfs(board, visited, word, i, j + 1, index + 1) ||  // 向右
                       dfs(board, visited, word, i, j - 1, index + 1);    // 向左
        
        // 回溯：恢复访问状态
        visited[i][j] = false;
        
        return found;
    }
}

• 时间复杂度：O(3^k × m × n)，其中k为单词长度，m、n为矩阵尺寸。每个点有3个方向可选（不能回退）
• 空间复杂度：O(k)，递归栈深度和visited数组空间

时间空间复杂度与方法一相同，但代码更易扩展（如需要八方向移动时只需修改DIRECTIONS数组）

原地标记优化（最优）

通过修改原矩阵来标记访问状态，节省空间。

public class Solution {
    public boolean exist(char[][] board, String word) {
        if (board == null || board.length == 0 || word == null || word.length() == 0) {
            return false;
        }
        
        char[] words = word.toCharArray();
        
        for (int i = 0; i < board.length; i++) {
            for (int j = 0; j < board[0].length; j++) {
                if (dfsOptimized(board, words, i, j, 0)) {
                    return true;
                }
            }
        }
        return false;
    }
    
    private boolean dfsOptimized(char[][] board, char[] word, int i, int j, int index) {
        // 边界检查和字符匹配检查
        if (i < 0 || i >= board.length || j < 0 || j >= board[0].length || 
            board[i][j] != word[index]) {
            return false;
        }
        
        // 找到完整路径
        if (index == word.length - 1) {
            return true;
        }
        
        // 原地标记：将当前字符临时替换为特殊标记（不能出现的字符）
        char temp = board[i][j];
        board[i][j] = '#';  // 标记为已访问
        
        // 四个方向搜索
        boolean res = dfsOptimized(board, word, i + 1, j, index + 1) ||
                     dfsOptimized(board, word, i - 1, j, index + 1) ||
                     dfsOptimized(board, word, i, j + 1, index + 1) ||
                     dfsOptimized(board, word, i, j - 1, index + 1);
        
        // 回溯：恢复原始字符
        board[i][j] = temp;
        
        return res;
    }
}

关键技巧：

1. 临时修改：将访问过的board[i][j]改为'#'（或其他不在字母表中的字符）
2. 自动避障：后续搜索遇到'#'会因字符不匹配而自动跳过
3. 状态恢复：回溯时恢复原始字符，确保不影响其他路径搜索

算法分析：

• 时间复杂度：O(3^k × m × n)，与前述方法相同
• 空间复杂度：O(1)，显著优化！仅使用常数空间（递归栈空间不可避免）