剑指offer-46、孩⼦们的游戏(圆圈中最后剩下的数)

题目描述

有个游戏是这样的：⾸先，让 n 个⼩朋友们围成⼀个⼤圈，⼩朋友们的编号是0~n-1。然后，随机指定⼀个数 m ，让编号为0的⼩朋友开始报数。每次喊到 m-1 的那个⼩朋友要出列唱⾸歌，然后可以在礼品箱中任意的挑选礼物，并且不再回到圈中，从他的下⼀个⼩朋友开始，继续 0... m-1报数....这样下去....直到剩下最后⼀个⼩朋友，可以不⽤表演，并且拿到⽜客礼品，请你试着想下，哪个⼩朋友会得到这份礼品呢？

示例
输⼊：5,3
输出：2

思路及解答

数组模拟

通过布尔数组标记小朋友的出局状态

public class Solution {

    public int lastRemaining(int n, int m) {
        if (n <= 0 || m <= 0) return -1;
        
        boolean[] out = new boolean[n]; // 标记是否出局
        int count = n;                  // 剩余人数
        int index = 0;                  // 当前报数位置
        int step = 0;                   // 报数计数器
        
        while (count > 1) {
            // 如果当前小朋友未出局，参与报数
            if (!out[index]) {
                step++;
                // 报到m-1的小朋友出局
                if (step == m) {
                    out[index] = true;  // 标记出局
                    count--;            // 剩余人数减1
                    step = 0;           // 重置计数器
                }
            }
            // 移动到下一个位置（循环）
            index = (index + 1) % n;
        }
        
        // 找到最后一个未出局的小朋友
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            if (!out[i]) {
                return i;
            }
        }
        return -1;
    }
}

• 时间复杂度：O(n×m)，最坏情况下每个小朋友都需要报数m次
• 空间复杂度：O(n)，需要长度为n的布尔数组

循环链表

使用循环链表模拟小朋友围成的圈，将小朋友存入链表，循环删除第m个元素

public class Solution {

    public int lastRemaining(int n, int m) {
        if (n <= 0 || m <= 0) return -1;
        
        List<Integer> list = new LinkedList<>();
        // 初始化链表，存入所有小朋友编号
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            list.add(i);
        }
        
        int index = 0; // 当前指针位置
        
        while (list.size() > 1) {
            // 计算要删除的位置：(当前索引 + m-1) % 当前大小
            index = (index + m - 1) % list.size();
            list.remove(index);
            // 删除后index自动指向下一个元素，不需要移动
        }
        
        return list.get(0);
    }
}

• 时间复杂度：O(n×m)，需要遍历链表进行删除操作
• 空间复杂度：O(n)，需要存储n个节点

数学归纳法（推荐）

分析每次被删除的数字规律，直接计算出最后的数字，不需要模拟

F(N,M) = ( F(N−1,M) + M ) % N

递推公式的推导过程：

1. 第一次删除：从0开始报数，删除第(m-1)%n个小朋友
2. 重新编号：删除后，从第m%n个小朋友开始重新编号：
   • 旧编号：m%n, m%n+1, ..., n-1, 0, 1, ..., m%n-1
   • 新编号：0, 1, 2, ..., n-2
3. 映射关系：新编号x对应的旧编号为(x + m) % n

示例验证（n=5, m=3）：

原始编号: 0, 1, 2, 3, 4
第一次删除编号2 → 剩余: 0, 1, 3, 4
重新编号: 3→0, 4→1, 0→2, 1→3
f(5,3) = (f(4,3) + 3) % 5

public class Solution {
    public int LastRemaining_Solution(int n, int m) {
        if (n <= 0 || m <= 0) {
            return -1;
        }
        int result = 0;
        for (int i = 2; i <= n; i++) {
            result = (result + m) % n;
        }
        return result;
    }
}

• 时间复杂度：O(n)，需要n次递归调用
• 空间复杂度：O(n)，递归调用栈深度

迭代优化

将递归转为迭代，避免栈溢出风险，是生产环境的最佳选择

public class Solution {

    public int lastRemaining(int n, int m) {
        if (n <= 0 || m <= 0) return -1;
        
        int result = 0; // f(1, m) = 0
        
        // 从2个人情况开始，逐步计算到n个人
        for (int i = 2; i <= n; i++) {
            result = (result + m) % i;
        }
        
        return result;
    }
}

• 时间复杂度：O(n)，只需一次循环
• 空间复杂度：O(1)，只使用常数空间