9 斐波那契数列Fibonacci

题目1：写一个函数，输入n，求Fibonacci数列的第n项。该数列定义如下：

n=0时，f(n)=0;        

n=1时，f(n)=1;        

n>1时，f(n)=f(n-1)+f(n-2)

1、 效率差的递归算法：时间复杂度以n的指数的方式递增。因为求f(10)=f(9)+f(8);f(9)=f(8)+f(7);f(8)=f(7)+f(6)；可以看出有很多项是重复计算的。

//斐波那契数列，递归。通过测试
//f(0)=0,f(1)=1,f(n)=f(n-1)+f(n-2)
public class Fibonacci{
    public static void main(String[] args){
        System.out.println(fibonacci(8));
    }
    public static int fibonacci(int n){
        if(n<=0){//此处避免无法处理n<0的情况!!!
            return 0;
        }
        if(n==1){
            return 1;
        }
        return fibonacci(n-1)+fibonacci(n-2);
        }
}

    

 

2、进一步改进，非递归算法（时间复杂度O(n)）

 

//斐波那契数列，非递归。通过测试
//f(0)=0,f(1)=1,f(n)=f(n-1)+f(n-2)
public class Fibonacci{
    public static void main(String[] args){
        System.out.println(fibonacci(2));
    }
    public static int fibonacci(int n){
        if(n<=0){//此处避免无法处理n<0的情况!!!
            return 0;
        }
        if(n==1){
            return 1;
        }
        int minusOne = 1;
        int minusTwo = 0;
        int fibN = 0;
        for(int i = 2; i<=n; i++){
            fibN = minusOne + minusTwo;             
            minusTwo = minusOne;
            minusOne = fibN;
        }
        return fibN;
    }
}

    

 

 

 

 题目2：一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级。求该青蛙跳上一个n级的台阶共多少种跳法。答案：斐波那契数列f(n)=f(n-1)+f(n-2)

 题目3：一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级……也可以跳上n级。求该青蛙跳上一个n级的台阶共多少种跳法。答案：数学归纳法可得f(n)=2^n-1

 题目4：可以用2*1（单位：cm）的小矩形横着或者竖着去覆盖更大的矩形。请问8个2*1的小矩形无重叠覆盖一个2*8的大矩形，共有多少中方法？

　　　　答案：f(8)=f(7)+f(6)，依然是斐波那契数列问题。