算法与数据结构笔记（一）二叉树基础
概念
结点概念
结点是数据结构中的基础，是构成复杂数据结构的基本组成单位。
图例
本篇笔记中，结点的表示方法为
树
树的定义
树（Tree）是n（n>=0)个结点的有限集。n=0时称为空树。在任意一颗非空树中：
- 有且仅有一个特定的称为根（Root）的结点；
- 当n>1时，其余结点可分为m(m>0)个互不相交的有限集T1、T2、......、Tn，其中每一个集合本身又是一棵树，并且称为根的子树。
- n>0时根结点是唯一的，不可能存在多个根结点，数据结构中的树只能有一个根结点。
- n>0时，子树的个数没有限制，但它们一定是互不相交的。
结点的度
结点拥有的子树数目称为结点的度。
结点关系
结点子树的根结点为该结点的孩子结点。相应该结点称为孩子结点的双亲结点。
上图中，A为B的双亲结点，B为A的孩子结点。
同一个双亲结点的孩子结点之间互称兄弟结点。
上图中，结点B与结点C互为兄弟结点。
结点层次
从根开始，根为第一层，根的孩子为第二层，以此类推。
树的深度
树中结点的最大层次数称为树的深度或高度。上图所示树的深度为3。
二叉树
二叉树定义
二叉树是n(n>=0)个结点的有限集合，该集合或者为空集（称为空二叉树），或者由一个根结点和两棵互不相交的、分别称为根结点的左子树和右子树组成。下图是一个普通的二叉树
二叉树的特性
由二叉树定义以及图示分析得出二叉树有以下特性
- 每个结点最多有两颗子树，所以二叉树中不存在度大于2的结点。
- 左子树和右子树是有顺序的，次序不能任意颠倒。
- 即使树中某结点只有一棵子树，也要区分它是左子树还是右子树。
- 在二叉树的第i层上最多有2^(i-1)个节点 。（i>=1）
- 二叉树中如果深度为k,那么最多有(2^k)-1个节点。(k>=1）
- nz = nt + 1 nz表示度数为0的节点数，nt表示度数为2的结点数
- 在完全二叉树中，具有n个节点的完全二叉树的深度为[log2n]+1，其中[log2n]是向下取整。
- 若对含 n 个结点的完全二叉树从上到下且从左至右进行 1 至 n 的编号，则对完全二叉树中任意一个编号为 i 的结点有如下特性：
- 若 i=1，则该结点是二叉树的根，无双亲, 否则，编号为 [i/2] 的结点为其双亲结点;
- 若 2i>n，则该结点无左孩子， 否则，编号为 2i 的结点为其左孩子结点；
- 若 2i+1>n，则该结点无右孩子结点， 否则，编号为2i+1 的结点为其右孩子结点。
特殊二叉树-斜树
所有的结点都只有左子树的二叉树叫左斜树。所有结点都是只有右子树的二叉树叫右斜树。这两者统称为斜树。
满二叉树
在一棵二叉树中。如果所有分支结点都存在左子树和右子树，并且所有叶子都在同一层上，这样的二叉树称为满二叉树。
满二叉树的特点
- 叶子只能出现在最下一层。出现在其它层就不可能达成平衡。
- 非叶子结点的度一定是2。
- 在同样深度的二叉树中，满二叉树的结点个数最多，叶子数最多。
完全二叉树
对一颗具有n个结点的二叉树按层编号，如果编号为i(1<=i<=n)的结点与同样深度的满二叉树中编号为i的结点在二叉树中位置完全相同，则这棵二叉树称为完全二叉树。
或者说，
完全二叉树即叶子结点全部在最下层和次下层，且所有度为1的结点均只有左子树的二叉树。
完全二叉树特点
- 叶子结点只能出现在最下层和次下层。
- 最下层的叶子结点集中在树的左部。
- 倒数第二层若存在叶子结点，一定在右部连续位置。
- 如果结点度为1，则该结点只有左孩子，即没有右子树。
- 同样结点数目的二叉树，完全二叉树深度最小
- 满二叉树一定是完全二叉树，但完全二叉树不一定是满二叉树。
二叉树的存储结构
顺序存储
二叉树的顺序存储结构就是使用一维数组存储二叉树中的结点，并且结点的存储位置，就是数组的下标索引。
如果树中出现空结点的情况，也应当存储空结点
于是我们发现，使用顺序结构存储时，如果出现空结点就会有空间被浪费掉。如果是斜树的情况则空间的浪费会更加严重
这种空间上的浪费几乎是不可接受的。
顺序存储的特点
- 完美储存完全二叉树
- 储存有空结点的普通二叉树会有很严重的浪费空间的情况
- 难以拓展额外的结点
链式存储
由二叉树定义可知，二叉树的每个结点最多有两个孩子。因此，可以将结点数据结构定义为一个数据和两个指针域。
而二叉树则可以如下所示
可以看到链式存储的二叉树几乎不会浪费空间
链式存储的特点
- 可拓展性高
- 几乎不会浪费空间
- 结点的访问速度可能不如顺序存储
