算法与数据结构笔记(一)二叉树基础

概念

结点概念

结点是数据结构中的基础,是构成复杂数据结构的基本组成单位。

图例

本篇笔记中,结点的表示方法为

树的定义

树(Tree)是n(n>=0)个结点的有限集。n=0时称为空树。在任意一颗非空树中:

  • 有且仅有一个特定的称为根(Root)的结点;
  • 当n>1时,其余结点可分为m(m>0)个互不相交的有限集T1、T2、......、Tn,其中每一个集合本身又是一棵树,并且称为根的子树。
  • n>0时根结点是唯一的,不可能存在多个根结点,数据结构中的树只能有一个根结点。
  • n>0时,子树的个数没有限制,但它们一定是互不相交的。

结点的度

结点拥有的子树数目称为结点的度。

结点关系

结点子树的根结点为该结点的孩子结点。相应该结点称为孩子结点的双亲结点。
上图中,A为B的双亲结点,B为A的孩子结点。
同一个双亲结点的孩子结点之间互称兄弟结点。
上图中,结点B与结点C互为兄弟结点。

结点层次

从根开始,根为第一层,根的孩子为第二层,以此类推。

树的深度

树中结点的最大层次数称为树的深度或高度。上图所示树的深度为3。

二叉树

二叉树定义

二叉树是n(n>=0)个结点的有限集合,该集合或者为空集(称为空二叉树),或者由一个根结点和两棵互不相交的、分别称为根结点的左子树和右子树组成。下图是一个普通的二叉树

二叉树的特性

由二叉树定义以及图示分析得出二叉树有以下特性

  • 每个结点最多有两颗子树,所以二叉树中不存在度大于2的结点。
  • 左子树和右子树是有顺序的,次序不能任意颠倒。
  • 即使树中某结点只有一棵子树,也要区分它是左子树还是右子树。
  • 在二叉树的第i层上最多有2^(i-1)个节点 。(i>=1)
  • 二叉树中如果深度为k,那么最多有(2^k)-1个节点。(k>=1)
  • nz = nt + 1 nz表示度数为0的节点数,nt表示度数为2的结点数
  • 在完全二叉树中,具有n个节点的完全二叉树的深度为[log2n]+1,其中[log2n]是向下取整。
  • 若对含 n 个结点的完全二叉树从上到下且从左至右进行 1 至 n 的编号,则对完全二叉树中任意一个编号为 i 的结点有如下特性:
    • 若 i=1,则该结点是二叉树的根,无双亲, 否则,编号为 [i/2] 的结点为其双亲结点;
    • 若 2i>n,则该结点无左孩子, 否则,编号为 2i 的结点为其左孩子结点;
    • 若 2i+1>n,则该结点无右孩子结点, 否则,编号为2i+1 的结点为其右孩子结点。

特殊二叉树-斜树

所有的结点都只有左子树的二叉树叫左斜树。所有结点都是只有右子树的二叉树叫右斜树。这两者统称为斜树。

满二叉树

在一棵二叉树中。如果所有分支结点都存在左子树和右子树,并且所有叶子都在同一层上,这样的二叉树称为满二叉树。

满二叉树的特点
  • 叶子只能出现在最下一层。出现在其它层就不可能达成平衡。
  • 非叶子结点的度一定是2。
  • 在同样深度的二叉树中,满二叉树的结点个数最多,叶子数最多。

完全二叉树

对一颗具有n个结点的二叉树按层编号,如果编号为i(1<=i<=n)的结点与同样深度的满二叉树中编号为i的结点在二叉树中位置完全相同,则这棵二叉树称为完全二叉树。
或者说,
完全二叉树即叶子结点全部在最下层和次下层,且所有度为1的结点均只有左子树的二叉树。

完全二叉树特点
  • 叶子结点只能出现在最下层和次下层。
  • 最下层的叶子结点集中在树的左部。
  • 倒数第二层若存在叶子结点,一定在右部连续位置。
  • 如果结点度为1,则该结点只有左孩子,即没有右子树。
  • 同样结点数目的二叉树,完全二叉树深度最小
  • 满二叉树一定是完全二叉树,但完全二叉树不一定是满二叉树。

二叉树的存储结构

顺序存储

二叉树的顺序存储结构就是使用一维数组存储二叉树中的结点,并且结点的存储位置,就是数组的下标索引。

如果树中出现空结点的情况,也应当存储空结点

于是我们发现,使用顺序结构存储时,如果出现空结点就会有空间被浪费掉。如果是斜树的情况则空间的浪费会更加严重


这种空间上的浪费几乎是不可接受的。

顺序存储的特点
  • 完美储存完全二叉树
  • 储存有空结点的普通二叉树会有很严重的浪费空间的情况
  • 难以拓展额外的结点

链式存储

由二叉树定义可知,二叉树的每个结点最多有两个孩子。因此,可以将结点数据结构定义为一个数据和两个指针域。

而二叉树则可以如下所示

可以看到链式存储的二叉树几乎不会浪费空间

链式存储的特点
  • 可拓展性高
  • 几乎不会浪费空间
  • 结点的访问速度可能不如顺序存储
posted @ 2020-10-19 18:51  SemiprimeNumber  阅读(33)  评论(0编辑  收藏