CF1973 Codeforces Round 945 (Div. 2) 游记(VP)

省流

慢速三题，表现分 \(1851\)，只能说不掉分。

10.20

内含剧透，请vp后再来。

不是题解！！！！！！！

赛时

A 题给出三个人的分数，两两之间进行一些比赛，胜平负获得 \(2/1/0\) 分，问最多能有多少场平局，每人分数不超过 \(30\)。数据范围很小，直接暴力枚举两人之间平局的场次，最后再看剩下所有人的分数是否都为正且是二的倍数。\(5min\) 通过。
B 题给了一个序列，要求给出一个长度 \(k\)，对于所有长度为 \(k\) 的子串，算出一个子串里所有数的或的值，所有子串的这个值相等。问这个 \(k\) 最小为多少。由于或运算叠加相同的不会影响最终值，所以当长度 \(k\) 符合条件时，\(i\) 到 \(i + k\) 加上 \(i + 1\) 到 \(i + k + 1\) 等于 \(i\) 到 \(i + k + 1\)，将 \(j\) 进行同样操作，可以得到 \(j\) 到 \(j + k + 1\)，而长度为 \(k\) 的四段都相等，所以长度为 \(k + 1\) 的段一定也符合条件。可以借助 st 表来理解。
那么具有单调性可以二分，考虑怎么判定。发现或相等的条件是对于二进制的每一位中不为零的数相同，而二进制位出现的个数容易加减维护，那么维护当前长度二进制每一位并与前一段比较就可以检查。复杂度为 \(O(n \log max \log n)\)。\(17min\) 通过。
接着看 C 题，题目给了一个长度为 \(4 \leq n \leq 1e4, n \equiv 0 \pmod{2}\) 的排列，要求你给出一个长度同样为 \(n\) 的排列，使这两个排列对应的值相加后，除了头尾，严格大于左右两边的数尽量多。一开始想着贪心或者二分，贪心的话优先把和两边差距较大的数取走，二分就二分总共可能有多少，但都没什么好的想法。
手玩时想到可以先把所有的数都变得相等，然后把其中一些数变大而另一些数变小。然后很顺畅的想到除了 \(1\) 都可以再变大，那么就把和 \(1\) 出现位置同奇偶性的都变小，另外一半都变大就行了。然后就是把较大的数变小的多一些，较小的数变大的多一些就行了。在 \(81min\) 通过。
接着看 D 题。交互题，有一个隐藏的长度为 \(n\) 的数组，和一个数 \(k\)。每次可以询问一个 \((l, x)\)，会返回最小的 \(r\) 使 \(l\) 到 \(r\) 的区间最大值乘区间长度为 \(x\)，或返回不存在。要求询问 \(2 \times n\) 次，把整个数组分成 \(k\) 段，使每一段内的区间长度乘最大值都相等。想了一会没什么思路，比赛结束。

赛后

先额外看了 B 的题解，发现有更好的做法。把整个序列按位拆分，对于存在 \(1\) 的某一位的最长的连续零一定要小于 \(k\)，不然就会出现某一段中该位为 \(0\)。那么所有连续 \(0\) 的最大长度加一就是答案。
这道题原题是要插入至多一个新数，问插入之后 \(k\) 最小为多少。我们利用刚刚的结论，就可以很容易的在 \(O(n)\) 中判断插入一个数能否把所有位大于 \(k\) 的连续零拆掉，所以再二分答案就行了。
D 题设每段的区间长度乘最大值为 \(p\)，考虑什么样的 \(p\) 可能被选择。设最大值为 \(maxx\)，那么显然 \(p\) 只能是 \(maxx\) 的倍数。而 \(maxx\) 很好求，只需要问从 \(1\) 到 \(n\) 的长度乘最大值时返回的是 \(n\)，此时询问的数就是 \(maxx\)。然后考虑 \(p\) 的上界，总值为 \(k \times p\)，而每段最大为 \(maxx\)，所以总长度一定大于等于 \(\frac{k \times p}{maxx}\)，也就是 \(\frac{k \times p}{maxx} \leq n\)。变换后得到 \(p \leq \frac{n * maxx}{k}\)，其中又是 \(maxx\) 倍数的就恰好只剩 \(\frac{n}{k}\) 种。每次验证一个 \(p\) 是否正确需要 \(k\) 次遍历，所以现在验证完所有可能恰好用 \(n\) 次。再加上一开始的找 \(maxx\) 次数就被限制在了 \(2 \times n\)。
注意这道题要考虑很多种 \(p\) 错误的可能，以及每次输完一个答案后要读入确认答案正确的 \(1\)。

2025年10月20日