算法笔记的笔记——第5章 数学问题

简单数学

略

最大公约数与最小公倍数

• 最大公约数

  int gcd(int a, int b) {
      if (b == 0) {
          return a;
      } else {
          return gcd(b, a % b);
      }
  }
  

• 最小公倍数

  假设d为a和b的最大公约数，则a和b的最小公倍数是a/d*b。

分数

略

素数

• 除1和本身外不能被其他数整除的一类数
• 1既不是素数也不是合数

素数的判断

• 从2到sqrt(n)（下界）都不能被n整除就是素数

  bool isPrime(int n) {
      if (n <= 1) {
          return false;
      }
      int sqr = (int)sqrt(1.0 * n);
      for (int i = 2; i <= sqr; i++) {
          if (n % i == 0) {
              return false;
          }
      }
      return true;
  }
  

素数表

• 数据不超过10⁵可以直接循环判断素数，复杂度O(n√n)

• 线性筛：对每一个素数，筛去它的所有倍数，剩下的就是素数，复杂度O(nloglogn)

  const int maxn = 101;
  int prime[maxn], pNum = 0;
  bool p[maxn] = {0};
  
  void Find_Prime() {
      for (int i = 2; i < maxn; i++) {
          if (!p[i]) {
              prime[pNum++] = i;
              for (int j = i + i; i < maxn; j += i) {
                  p[j] = true;
              }
          }
      }
  }
  

质因子分解

• 先打印素数表

• 枚举1到sqrt(n)范围内的质因子p，判断p是否是n的因子

• 如果p是n的因子，给fac数组增加质因子p，初始化个数为0，只要p还是n的因子，就让n除以p，每次令p的个数加1，直到p不再是n的因子

• 如果p不是n的因子就跳过

• 如果上述步骤结束后n仍然大于1，说明n有且仅有一个大于sqrt(n)的质因子，把它加入fac数组，令个数为1

  #include <cstdio>
  #include <cmath>
  
  const int maxn = 100010;
  int prime[maxn], pNum, num;
  bool notPrime[maxn];
  
  struct factor {
      int p, cnt;
  } fac[10];	// 对于int范围内的数数组大小开到10就够用了
  
  void Find_Prime() {
      for (int i = 2; i < maxn; i++) {
          if (!notPrime[i]) {
              prime[pNum++] = i;
              for (int j = i + i; j < maxn; j++) {
                  notPrime[j] = true;
              }
          }
      }
  }
  
  int main() {
      int n;
      scanf("%d", &n);
      int sqr = (int)sqrt(1.0 * n);
      Find_Prime();
      for (int i = 0; i < pNum && prime[i] <= sqr; i++) {
          if (n % prime[i] == 0) {
              fac[num].p = prime[i];
              fac[num].cnt = 0;
              while (n % prime[i] == 0) {
                  fac[num].cnt++;
                  n /= prime[i];
              }
              num++;
          }
      }
      if (n != 1) {
          fac[num].p = n;
          fac[num].cnt = 1;
          num++;
      }
      for (int i = 0; i < num; i++) {
          printf("%d %d\n", fac[i].p, fac[i].cnt);
      }
      return 0;
  }
  

  时间复杂度O(√n)。