数论分块

定理

对于\(d, j, k \in N, d <= N\)，\(\lfloor\frac{k}{j}\rfloor = d\)的充要条件是\(\lfloor\frac{k}{d+1}\rfloor < j \le \lfloor\frac{k}{d}\rfloor\)

证明

根据取整运算的定义，\(\lfloor\frac{k}{j}\rfloor = d \Leftrightarrow d \le \frac{k}{j} < d+1 \Leftrightarrow \frac{k}{d+1} < j \le \frac{k}{d}\)

由于\(j\in N\)，所以\(\frac{k}{d+1} < j \le \frac{k}{d} \Leftrightarrow \lfloor\frac{k}{d+1}\rfloor < j \le \lfloor\frac{k}{d}\rfloor\)

综上，\(\lfloor\frac{k}{j}\rfloor = d \Leftrightarrow \lfloor\frac{k}{d+1}\rfloor < j \le \lfloor\frac{k}{d}\rfloor\)

推论

对于\(i,k\in N, i\le k\)，使得\(\lfloor\frac{k}{i}\rfloor = \lfloor\frac{k}{j}\rfloor\)成立的最大的\(j\in N\)为\(\lfloor\frac{k}{\lfloor\frac{k}{i}\rfloor}\rfloor\)。

例题

数学'/'bzoj1257 数论分块

参考

https://www.cnblogs.com/BeautifulWater/p/15943427.html

但是里面的数论分块证明只证明了必要性。