[SDOI2012]Longge的问题

[SDOI2012]Longge的问题

BZOJ
luogu
考虑n的每个约数的贡献
求[1,n]有多少i与gcd(i,n)=k
即求$$\sum_{k|n}k\sum_{i=1}^n[gcd(i,n)=k]$$

\[=\sum_{k|n}k\sum_{i=1}^{\frac{n}{k}}[gcd(i,\frac{n}{k})=1] \]

\[=\sum_{k|n}k\phi(k) \]

由于k|n,所以预处理n的不同质因子,可以做到\(O(logn)\)求\(\phi(k)\)
复杂度:\(O(\sqrt nlogn)\)

#define ll long long
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int cnt;
ll n,ans,z[100000];
void fact(ll x){
	for(int i=2,sq=sqrt(x);i<=sq;i++){
		if(x%i==0){
			z[++cnt]=i;
			while(x%i==0)x/=i;
		}
	}
	if(x>1)z[++cnt]=x;
}
ll getphi(ll x){
	ll res=x;
	for(int i=1;i<=cnt;i++)
		if(x%z[i]==0){
			res/=z[i];res*=z[i]-1;
			while(x%z[i]==0)x/=z[i];
		}
	if(x>1)res/=x,res*=x-1;
	return res;
}
int main(){
	cin>>n;
	fact(n);
	for(int i=sqrt(n);i>=1;i--)
		if(n%i==0){
			ans+=getphi(n/i)*i;
			if(i*i^n)ans+=getphi(i)*n/i;
		}
	cout<<ans<<endl;
	return 0;
}