二项式反演及其证明

二项式反演及其证明

有一类问题是这样的:你可以推出<=i的方案数,你想求出恰好i的方案数
设<=i的方案数为a(i),恰好为i的方案数为b(i)
有$$a(n)=\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}b(i)$$
相当于知道a(n),要求b(n)
二项式反演:$$b(n)=\sum_{i=0}^n(-1)\binom{n}{i}a(i)$$
证明:

\[b(n)=\sum_{i=0}^n(-1)^{n-i}\binom{n}{i}a(i) \]

\[=\sum_{i=0}^n(-1)^{n-i}\binom{n}{i}\sum_{j=0}^i\binom{i}{j}b(j) \]

\[=\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^i(-1)^{n-i}\binom{n}{i}\binom{i}{j}b(j) \]

\[=\sum_{j=0}^n\sum_{i=j}^n(-1)^{n-i}\binom{n}{i}\binom{i}{j}b(j) \]

由于$$\binom{n}{i}\binom{i}{j}=\binom{n}{j}\binom{n-j}{i-j}$$
原式$$=\sum_{j=0}^n\sum_{i=j}n(-1)^{n-i}\binom{n}{j}\binom{n-j}{i-j}b(j)$$
考虑这一坨$$\binom{n}{j}\sum_{i=j}^n(-1)\binom{n-j}{i-j}$$
当j=n时,该式=1
否则为0
于是原式$$=b(n)$$,得证.