[Violet]樱花
[Violet]樱花
\[\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{N!}
\]
\[\frac{x+y}{xy}=\frac{1}{N!}
\]
\[xy-(x+y)N!=0
\]
\[(N!)^2+xy-(x+y)N!=(N!)^2
\]
\[(x-N!)(y-N!)=(N!)^2
\]
由于x,y为任意正整数,所以x-N!,y-N!也为任意正整数
于是有$$xy=(N!)^2$$
考虑把N!分解质因数,\(N!=p_1^{k_1}+p_2^{k_2}+p_3^{k_3}+...\)
那么\((N!)^2=p_1^{2k_1}+p_2^{2k_2}+p_3^{2k_3}+...\)
显然如果确定了x,那么y是唯一的
x有多少种可能?\((2k_1+1)(2k_2+1)(2k_3+1)...\)
然后线筛一下,\(O(nlogn)\)分解2~n即可
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e6+5,_=1e5,p=1e9+7;
int n,cnt,ans=1,pri[_],mn[N],t[_];
bool isp[N];
void fact(int x){
if(x==1)return;t[mn[x]]++;fact(x/pri[mn[x]]);
}
int main(){
cin>>n;
memset(isp,1,sizeof(isp));
for(int i=2;i<=n;i++){
if(isp[i]){pri[++cnt]=i;mn[i]=cnt;}
for(int j=1;j<=cnt&&pri[j]*i<=n;j++){
isp[pri[j]*i]=0;mn[pri[j]*i]=j;
if(i%pri[j]==0)break;
}
}
for(int i=2;i<=n;i++)fact(i);
for(int i=1;i<=cnt;i++)ans=1ll*ans*(2*t[i]+1)%p;
cout<<ans<<endl;
return 0;
}
