最大流判定的一些应用

最大流判定

Poj 2455

\(N\) 个点 ， \(P\) 条双向边，每条边有长度，每条边只能走一次。

需要从 \(1\) 到 \(N\) ，进行 \(T\) 次。问经过的最大边权的最小值。

保证可以在不走重复道路的情况走 \(T\) 次

思路:

二分答案

判定用不超过 \(m\) 的边能不能到 \(T\) 次，跑网络流即可

/*
 * @Author: zhl
 * @Date: 2020-10-20 11:09:59
 */
#include<bits/stdc++.h>
#define rep(i,a,b) for(int i = a;i <= b;i++)
#define repE(i,u) for(int i = head[u];~i;i = E[i].next)
using namespace std;

const int N = 2e6 + 10, M = 2e6 + 10, inf = 1e9;
struct Edge {
	int to, flow, next;
}E[M << 1];
int head[N], tot;
void addEdge(int from, int to, int w) {
	E[tot] = Edge{ to,w,head[from] };
	head[from] = tot++;
	E[tot] = Edge{ from,0,head[to] };
	head[to] = tot++;
}

int n, m, s, t, k;
int dis[N], cur[N];
bool bfs() {
	rep(i, 0, n)dis[i] = -1;
	queue<int>Q;
	Q.push(s); dis[s] = 0; cur[s] = head[s];
	while (!Q.empty()) {
		int u = Q.front(); Q.pop();
		repE(i, u) {
			int v = E[i].to;
			if (dis[v] == -1 and E[i].flow) {
				cur[v] = head[v];
				dis[v] = dis[u] + 1;
				Q.push(v);
				if (v == t)return true;
			}
		}
	}
	return false;
}

int dfs(int u, int limit) {
	if (u == t)return limit;
	int k, res = 0;
	for (int i = cur[u]; ~i and res < limit; i = E[i].next) {
		int v = E[i].to;
		cur[u] = i;
		if (dis[v] == dis[u] + 1 and E[i].flow) {
			k = dfs(v, min(limit, E[i].flow));
			if (k == 0)dis[v] = -1;
			E[i].flow -= k; E[i ^ 1].flow += k;
			limit -= k; res += k;
		}
	}
	return res;
}

vector<pair<int, int> >G[300];

int Dinic() {
	int res = 0;
	while (bfs())res += dfs(s, inf);
	return res;
}
bool judge(int m) {
	memset(head, -1, sizeof(int) * (n + 10));
	tot = 0;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		for (auto e : G[i]) {
			if (e.second <= m) {
				addEdge(i, e.first, 1);
			}
		}
	}
	int maxflow = Dinic();
	return maxflow >= k;
}

int main() {
	scanf("%d%d%d", &n, &m, &k);
	s = 1, t = n;
	rep(i, 1, m) {
		int a, b, c; scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
		G[a].push_back({ b,c });
		G[b].push_back({ a,c });
	}
	int l = 0, r = 1000100;

	int ans = inf;
	while (l <= r) {
		int mid = l + r >> 1;
		if (judge(mid)) {
			ans = min(ans, mid);
			r = mid - 1;
		}
		else {
			l = mid + 1;
		}
	}
	printf("%d\n", ans);
}

家园 / 星际转移问题

网络流24题

由于人类对自然资源的消耗，人们意识到大约在 2300 年之后，地球就不能再居住了。于是在月球上建立了新的绿地，以便在需要时移民。令人意想不到的是，2177 年冬由于未知的原因，地球环境发生了连锁崩溃，人类必须在最短的时间内迁往月球。

现有 \(n\) 个太空站位于地球与月球之间，且有 \(m\) 艘公共交通太空船在其间来回穿梭。每个太空站可容纳无限多的人，而太空船的容量是有限的，第 \(i\) 艘太空船只可容纳 \(h_i\) 个人。每艘太空船将周期性地停靠一系列的太空站，例如 \((1,3,4)\) 表示该太空船将周期性地停靠太空站 \(134134134\dots134134134\)…。每一艘太空船从一个太空站驶往任一太空站耗时均为 \(1\) 。人们只能在太空船停靠太空站(或月球、地球)时上、下船。

初始时所有人全在地球上，太空船全在初始站。试设计一个算法，找出让所有人尽快地全部转移到月球上的运输方案。

思路

按时间分层建图，停留的话就建一条垂直的 inf 边（绿边）

每一辆飞船按下图橙蓝建图，容量是载人数

/*
 * @Author: zhl
 * @Date: 2020-10-20 11:09:59
 */
#include<bits/stdc++.h>
#define rep(i,a,b) for(int i = a;i <= b;i++)
#define repE(i,u) for(int i = head[u];~i;i = E[i].next)
using namespace std;

const int N = 2e6 + 10, M = 2e6 + 10, inf = 1e9;
struct Edge {
	int to, flow, next;
}E[M << 1];
int head[N], tot;
void addEdge(int from, int to, int w) {
	E[tot] = Edge{ to,w,head[from] };
	head[from] = tot++;
	E[tot] = Edge{ from,0,head[to] };
	head[to] = tot++;
}

int n, m, s, t, ans;
int dis[N], cur[N];
bool bfs() {
	rep(i, 0, (n+2)*(ans+1))dis[i] = -1;
	queue<int>Q;
	Q.push(s); dis[s] = 0; cur[s] = head[s];
	while (!Q.empty()) {
		int u = Q.front(); Q.pop();
		repE(i, u) {
			int v = E[i].to;
			if (dis[v] == -1 and E[i].flow) {
				cur[v] = head[v];
				dis[v] = dis[u] + 1;
				Q.push(v);
				if (v == t)return true;
			}
		}
	}
	return false;
}

int dfs(int u, int limit) {
	if (u == t)return limit;
	int k, res = 0;
	for (int i = cur[u]; ~i and res < limit; i = E[i].next) {
		int v = E[i].to;
		cur[u] = i;
		if (dis[v] == dis[u] + 1 and E[i].flow) {
			k = dfs(v, min(limit, E[i].flow));
			if (k == 0)dis[v] = -1;
			E[i].flow -= k; E[i ^ 1].flow += k;
			limit -= k; res += k;
		}
	}
	return res;
}

int Dinic() {
	int res = 0;
	while (bfs())res += dfs(s, inf);
	return res;
}
int H[N], k, r;
vector<int>G[30];
int fa[N];
int find(int a) { return a == fa[a] ? a : fa[a] = find(fa[a]); }
void merge(int a, int b) { if (find(a) != find(b))fa[find(a)] = find(b); }

int main() {
	scanf("%d%d%d", &n, &m, &k);
	rep(i, 0, n + 1)fa[i] = i;
	rep(i, 1, m) {
		scanf("%d%d", H + i, &r);
		rep(j, 1, r) {
			int x; scanf("%d", &x); if (x == -1)x = n + 1;
			G[i].push_back(x);
		}
		rep(j, 1, r - 1) {
			merge(G[i][0], G[i][j]);
		}
	}
	if (find(0) != find(n + 1)){
	    printf("0\n");
	    return 0;
	}
	ans = 1;
	while (1) {
		memset(head, -1, sizeof(int)* ((n + 10)* (ans + 1)));
		tot = 0;
		rep(i, 0, ans - 1) {
			rep(j, 1, m) {
				int len = G[j].size();
				int a = G[j][i % len] + (n + 2) * i;
				int b = G[j][(i + 1) % len] + (n + 2) * (i + 1);
				addEdge(a, b, H[j]);
			}
			rep(j, 0, n + 1) {

				addEdge((n + 2) * i + j, (n + 2) * (i + 1) + j, inf);
			}
		}
		s = 0, t = (n + 2) * (ans + 1) - 1;
		if (Dinic() >= k) {
			printf("%d\n", ans);
			return 0;
		}
		ans++;
	}

}