分割游戏（博弈论）

题目

原题链接：https://atcoder.jp/contests/abc368/tasks/abc368_f

问题描述

你被给定一个由 N 个正整数 A=(A1​,A2​,…,AN​) 组成的序列，其中每个元素至少为 2 。安娜和布鲁诺使用这些整数进行游戏。他们轮流进行操作，安娜先手，执行以下操作。

自由选择一个整数 i (1≤i≤N) 。然后，自由选择一个不是 Ai​ 本身的 x 的正除数 Ai​ ，并将 Ai​ 替换为 x 。
无法执行操作的一方输掉游戏，另一方获胜。假设双方都为胜利而最优地行动，确定谁会获胜。

约束
1≤N≤105
2≤Ai​≤105
所有输入值都是整数。

输入
第一行输入一个整数N，第二行输入N个正整数Ai​

输出
如果安娜赢得游戏，则打印 Anna ，如果布鲁诺赢得游戏，则打印 Bruno 。

示例输入1
3
2 3 4

示例输出1
Anna

例如，游戏可能按以下步骤进行。请注意，这个例子不一定代表双方的最佳玩法：
安娜将 A3 改为 2 。
布鲁诺将 A1 改为 1 。
安娜将 A2 改为 1 。
布鲁诺将 A3 改为 1 。
安娜在自己的回合无法操作，因此布鲁诺获胜。
实际上，对于这个示例，如果安娜采取最佳策略，她总是获胜。

示例输入2
4
2 3 4 6

示例输出2
Bruno

思路

这是一道博弈论中关于SG函数的题，先来分析游戏规则，给出N个正整数组成的序列，每次可以将其中的某个数Ai更改为Ai的真因数x，当剩余没有可更改的数时，也就是剩下的数都为1的时候，该局玩家输掉游戏。那么子游戏的终止状态就是变成一，每轮游戏后可能达到的后继状态即为这个数的所有真因数，那么就可以开始写SG函数了。

用一个数组sg[i]来存储i的SG值，集合S来存储i的所有因数的SG值，sg函数的计算过程如下：

for(int i=1; i<=N; i++){//计算sg的值
    for(int j=0; j<=N+5; j++){//从0开始检查j是否在集合中
        if(S[i].count(j)) sg[i]++;//若j在集合中，增加sg[i]的值
        else  break;//遇到不在集合中的数，跳出循环，此时sg[i]的值就是mex值
    }
    for(int j=i+i; j<=N; j+=i) S[j].insert(sg[i]);//将当前数字i的sg值添加到所有i的倍数中
}

该题完整代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5;
int n,a[N];
 
int main(){
    ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(nullptr);
    cin>>n;
    vector<int> a(n+1);
    vector<set<int>> S(N+5);//存储数字i的所有可能后继状态的sg值，在这里即存储i的所有真因数
    vector<int> sg(N+5,0);
    for(int i=1; i<=n; i++) cin>>a[i];
    for(int i=1; i<=N; i++){//计算sg的值
        for(int j=0; j<=N+5; j++){//从0开始检查j是否在集合中
            if(S[i].count(j)) sg[i]++;//若j在集合中，增加sg[i]的值
            else  break;//遇到不在集合中的数，跳出循环，此时sg[i]的值就是mex值
        }
        for(int j=i+i; j<=N; j+=i) S[j].insert(sg[i]);//将当前数字i的sg值添加到所有i的倍数中
    }
    int res=0;
    for(int i=1; i<=n; i++) res^=sg[a[i]];//组合游戏的sg值等于各子游戏sg值的异或和
    if(res==0) cout<<"Bruno"<<"\n";//sg值等于0，则先手必败
    else cout<<"Anna"<<"\n";
    return 0;
}

关于SG函数

SG函数及其在博弈论中的应用

SG函数（Sprague-Grundy函数）是博弈论中用于分析 impartial games（公平组合游戏）的重要工具。公平组合游戏是指：双方轮流操作、信息完全、无随机因素、且每个局面的可行操作只依赖于局面本身。SG函数可以帮助我们判断每个游戏状态的胜负情况，以及组合多个游戏时的胜负。

SG函数的定义

1、对于每个游戏状态，其SG值定义为所有后继状态SG值集合的mex（最小排除值）。mex是指最小的不在该集合中的非负整数，例如集合S={0，1，3}，它的mex值就等于2。

2、如果将某个点A的后继状态记为集合 S，则 SG(A)=mex{SG(s)∣s∈S} 。

例如这道题，通过一轮游戏操作后，可以将6变为6的真因数1，2，3，那么SG(6)=mex{SG(1)，SG(2)，SG(3)}。

3、如果某个状态的SG值为0，则当前玩家必输；否则，当前玩家必胜。

简单说一下这点。我们知道，在博弈论中，有必胜态N和必败态P，它们的定义分别是：若某个状态通过一轮游戏操作后，只能转换成必胜态的，则它就是必败态；若某个状态，有至少一种方法，可以下一轮的状态变为必败态，则它是必胜态。

这里给出一张状态转移图，当然不是本题的，只是用来看一下。

这是一个尼姆博弈的图，大概就是说有两堆石子，一堆10个一堆5个，每次可以取2个或者5个，若是无法取石子（剩余数为1）或无石子可取（剩余0），则输掉游戏。那么sg[0]和sg[1]都标记为0，也就是图中每个数右上角的小数字。

先根据初始石子数和取石子的方法，画出状态转移图，再从终止态倒推，按照sg的定义得到每个状态的sg值。注意到，当后续状态集合中不存在0时，该状态的sg值等于0，即当sg值等于0时，不论如何，它的下一个状态都只能变成sg值不为0的状态，符合必败态的定义。而当后续状态中存在0时，则表示至少有一种方法，使它的下一个状态可以变为必败态，则该状态为必胜态。

组合游戏中的SG函数

1、当游戏由多个独立子游戏组成时，整个游戏的SG值是各子游戏SG值的异或和。

即，如果子游戏的SG值分别为 sg1,sg2,…,sgnsg1​,sg2​,…,sgn​，则整体SG值为 sg1⊕sg2⊕⋯⊕sgnsg1​⊕sg2​⊕⋯⊕sgn​。

2、如果异或和为0，先手必输；否则先手必胜。

这点也可以简单说一下。首先要明确，所有子游戏的最终状态的sg值肯定是都为0，此时所有子游戏sg值的异或和（记为SG)也为0。

假设现在有三个子游戏，它们的初始状态的sg值分别为2，5，7，那么SG的计算过程如下：

SG=0，无论如何，只要改变了其中任意一个0或1，SG都会变成一个非0的数，即只能变成必胜态。

而若是sg值为3，5，7，SG=1，只要我将3变成2，或者将5变成4，或者将7变成6，都可以使SG变成0，即存在至少一种方法变成必败态。

在本问题中的应用

本问题中，每个整数 Ai​ 可以看作一个独立的子游戏。操作是选择一个真除数（即不等于 Ai​ 本身的除数），将 Ai​ 替换为该除数。无法操作时输。

对于数字 i，其后续状态是所有真除数 d（即 d∣i且 d<i)。

因此，SG(i)=mex{SG(d)∣d 是 i 的真除数}。

代码实现思路
预处理SG值：从数字1开始到100000，计算每个数字的SG值。

数字1没有真除数，因此 SG(1)=0SG(1)=0。

使用集合存储后继SG值：对于每个数字 jj，用集合 S[j]S[j] 存储其所有真除数对应的SG值。

通过遍历每个数字 ii，将其SG值添加到所有倍数 jj（即 j=2i,3i,…≤Nj=2i,3i,…≤N) 的集合 S[j]S[j] 中。这是因为 ii 是 jj 的真除数。

计算mex：对于每个数字 ii，从0开始检查整数是否在 S[i]S[i] 中，直到找到第一个不在集合中的整数，即为 SG(i)SG(i)。

判断胜负：对于输入序列 AA，计算所有 SG(Ai)SG(Ai​) 的异或和。如果异或和为0，布鲁诺赢；否则安娜赢。

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该文在CSDN上已发过，此处为二次编辑
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