对某路段速度与密度相关分析

 

一、作业题目

如表1-1所示为某个路段观测到的速度（km/h）和密度（vel/km）数据。请对这两组数据进行回归分析。

表1-1 某路段速度和密度观测结果

速度km/h	密度veh/km	速度km/h	密度veh/km	速度km/h	密度veh/km	速度km/h	密度veh/km
20.4	38.8	30.8	31.6	121.7	8.5	90.1	13.2
27.4	31.5	26.5	34.0	106.5	11.1	106.7	11.4
106.2	10.6	35.7	28.9	130.5	8.6	99.3	11.2
80.4	16.1	30.0	28.8	101.1	11.1	107.2	10.3
141.3	7.7	106.2	10.5	123.9	9.8	109.1	11.4
130.9	8.3	97.0	12.3	144.2	7.8	29.5	31.8

二、解题过程

首先通过MATLAB将路段速度和密度观测数据绘制散点图，如图1-1所示。根据样本线性系数计算公式求得r=-0.97(p=0.000<0.05)，因此，速度和密度是高度相关的。密度和运行速度两者之间存在着很强的线性相关性，并且相关系数为负值，表明随着密度的增加，车辆运行的速度是下降的。速度—密度散点图也表明速度和密度之间的存在很强的相关性。

 

图1-1 某路段速度密度散点图

所以列出三种数学模型，分别是（1） ，（2） ，（3） 。则根据MATLAB中的regress函数计算出每个模型中回归系数估计值，计算结果如表1-2，

表1-2 回归系数估计值

函数类型	回归系数估计值	拟合优度	回归模型是否成立
一次回归函数	=38.1295； =-0.2425；	0.9438	成立
二次回归函数	=45.7283； =-0.5221； =0.0018；	0.9901	成立
三次回归函数	=52.0470； =-0.8576； =0.0062； =-1.7272e-06	0.9922	成立

根据回归系数估计值绘制拟合曲线图，如图1-2所示，可以看出最符合速度与密度的回归函数应该是二次回归函数。

 

图1-2 某路段速度—密度回归拟合图

三、结论

对比三组不同次数的回归函数，虽然次数越高，回归函数与观测数据的方差越接近于1，拟合程度越高，但是相对的函数构成就越复杂，不利于回归函数的应用与计算。所以在同时满足拟合优度和函数可操作性的条件下，二次回归函数是最合适的回归函数。

附录（MATLAB代码）

clc

clear

speed=xlsread("road_speed_and_density.xlsx","A2:A25");

density=xlsread("road_speed_and_density.xlsx","B2:B25");

hold on

plot(speed,density,'o','MarkerFaceColor','k');

%，alpha 为显著性水平（缺省时设定为0.05）

%b,bint 为回归系数估计值和它们的置信区间，

%r,rint 为残差（向量）及其置信区间，stats 是用于检验回归模型的统计量，有四个数值

%第一个R2，第二个F，第三个是与F对应的概率p，p <α拒绝H0，回归模型成立，第四个是残差的方差s2

alpha=0.05;

speed1=[ones(24,1),speed];

speed2=[ones(24,1),speed,power(speed,2)];

speed3=[ones(24,1),speed,power(speed,2),power(speed,3)];

[b1,bint1,r1,rint1,stats1]=regress(density,speed1,alpha);

[b2,bint2,r2,rint2,stats2]=regress(density,speed2,alpha);

[b3,bint3,r3,rint3,stats3]=regress(density,speed3,alpha);

%显示拟合函数系数，从低次到高次

b1,bint1,stats1

b2,bint2,stats2

b3,bint3,stats3

%绘制不同次拟合函数

x=0:1:150;

fit_density1=-0.2425*x+38.1295;

fit_density2=0.0018*power(x,2)-0.5221*x+45.7283;

fit_density3=-1.676e-05*power(x,3)+0.0062*power(x,2)-0.8576*x+52.0470;

plot(x,fit_density1,'b');

plot(x,fit_density2,'k');

plot(x,fit_density3,'r');

xlabel('速度/（km/h）');

ylabel('密度/（veh/km）');

title('某路段速度—密度回归拟合图');

legend('路段观测结果','一次拟合曲线','二次拟合曲线','三次拟合曲线');