因式分解(1)

Part -2:本文说明

本文只介绍八年级会用到的一些因式分解技巧
文章为原创,所有的公式在和Photomath中均验证过


Part -1:幂的运算

请记住以下公式:
\(a^b\cdot a^c = a^{b+c}\)
\(\frac{a^b}{a^c} = a^{b-c}\)
\((a^m)^n = a^{mn}\)
\(a^c\cdot b^c=(ab)^c\)
\(a^0 = 1(a \neq 0)\)
\(a^{-p}=\frac{1}{a^p}(a\neq 0)\)


Part 0:什么是因式分解

因式分解是整式乘法的逆运算,举个例子:
\(c(a+b) = ac + bc\)
从右到左是因式分解,从左到右是整式乘法
也就是说:
因式分解是添加小括号,用乘法表示一个代数式
整式乘法是去掉小括号,用加法表示一个代数式
请注意,因式分解不改变原式的值,并且倒退回去可以得到原式


Part 1:因式分解第一招——乘法分配律!

例1:对以下式子进行因式分解:
\((1) 2a + 2b\)
\((2) 2a^2 + 4ab\)
\((3) 2ab + 2bc + 2abc\)
\((4) 2ca + 2bc^2\)
首先看第一个:
我们可以发现,他正好符合\(ac + bc\)的形式,话不多说,直接运用:
\(\text{解:}(1): 2a+2b = 2(a+b)\)

再来看第二个,这个式子里边有平方,怎么办呢?
请记住:目前为止,有平方?你就拆!
第二个问题:4和2,怎么运用乘法分配律呢?
小可爱,你知道\(2\times 2=4\) 吗?
\(2a^2+4ab = 2a\cdot a+ 2ab \cdot 2\)
提取一个\(2a\),可得:\(2a(a+2b)\)

第三个,有的小可爱一看到就开心了,直接提取一个\(2b\)\(2b(a+c+ac)\)

第四个,也很好做啊!提取\(2c\):$2c(bc+a) $


Part 2:公式的运用

不是所有时候都可以用到乘法分配律,于是,公式出来了:
\(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\)
\(a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\)
\(a^2-2ab+b^2=(a-b)^2\)
这是你基本要记住的几个,我们来几个题:
\((1)(x-y)^2-4\)
如果你敏感的话,你很快就能看出来:原式就是:
\(a^2-b^2(a = x-y,b = 2)\)
好的,直接用公式,也就是:
\((x-y+2)(x-y-2)\)

第二个:\(x^4-2x^2 y^2+y^4\)
啊哈,不就是\((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)嘛!
直接用!转换为:
\((x^2 - y^2)^2\)
嘿嘿嘿嘿,别忙着做下一题,你再审视一下这个式子:
\((x^2 - y^2)^2\)
你再审视一下小括号:
\(x^2-y^2\)
此时你一惊:艹,还有一个\(a^2-b^2\)
继续分解,原式变为:
\([(x-y)(x+y)]^2\)
记得前面提到的幂的运算第四条吗?反过来用,\((ab)^c=a^cb^c\)
那就继续换:
\((x-y)^2(x+y)^2\)
然而,在作者验证的时候,发现有的网站这么给答案:\((y-x)^2(y+x)^2\)
于是插一句话:因为偶次方具有非负性,所以:\((a-b)^2=(b-a)^2\)


Part 3:项太多了怎么办?分组!

分组分解法一般用于四项及以上的分组,把他们分解之后再来运用公式或者乘法分配律。
举个例子:
\(xy+x+y+1\)
四项,也不是公式,怎么办呢?分个组!
分组的原则一般是:(1)有公式可以套,(2)有相同的"系数"(使用主元法)
啊这里也没啥公式可以用,就考虑使用相同系数吧:
这里我假设把y当为未知数(这是后面会讲到的主元法)
\((x+1)y + (x+1)\)
哦,可以乘法分配律了!:
\((x+1)(y+1)\)

当然,分组的灵活性很大,只能自己慢慢摸索(我指的是多刷题)


Part 4:特殊二次三项式的杀手:十字相乘

十字相乘用于特殊的二次三项式,特殊在哪里呢?他要满足这个要求:
假设我们有一个二次三项式:\(a+b+c\)
这个时候,令\(mn=c,pq=a\)
我们要求:\(qm+pn=b\)
晕了吗?好吧,我要打120啦!
我们上一张图:

看懂了吗?他分解之后,应该是这个样子的:

咱举个栗子:\(x^2-4xy-12y^2\)
我们先观察,发现:\(x\cdot x = x^2,2y \cdot (-6y) = -12y^2,2y\cdot x+x \cdot (-6y) = -4xy\)
好!直接分解,变为:\((x+2y)(x-6y)\)
但在考试的时候,你的过程要这么写:


Part End:来自DBXXX大佬的友情提示:

posted @ 2020-03-02 08:40  SD!LTF  阅读(...)  评论(...编辑  收藏