[2018雅礼集训1-16] 方阵

给出一个 \(n\times m\) 的矩阵，每个位置可以填上 \([1,c]\) 中的任意整数。

要求填好后任意两行互不等价，且任意两列互不等价。两行或两列等价当且仅当对应位置完全相同，求方案数。

\(n,m\leq 4000\)

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vjudge的链接

一道斯特林反演题。

直接考虑不好考虑，所以先只考虑行，设 \(f_m\) 表示只考虑行互不等价，矩阵 \(n\times m\) 的方案数。

一共有 \(c^m\) 种互不等价的方案，那么 \(f_m=(c^m)^{\underline{n}}\) 。

然后设 \(g_m\) 表示行和列都不等价，矩阵 \(n\times m\) 的方案数，那么就有：

\[f_m=\sum_{i=1}^m\begin{Bmatrix}m\\i\end{Bmatrix}g_i \]

具体的就是先分成 \(i\) 个互不等价的集合，然后分配 \(m\) 列。

斯特林反演之后就有：

\[g_m=\sum_{i=1}^m\begin{bmatrix}m\\i\end{bmatrix}(-1)^{m-i}f_i \]

然后就做完了。

Code（topcoder的阴间提交方式）

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
const int N = 4e3;
const int p = 1e9 + 7;
using namespace std;
int S[N + 1][N + 1],f[N + 1];
int mypow(int a,int x){int s = 1;for (;x;x & 1 ? s = 1ll * s * a % p : 0,a = 1ll * a * a % p,x >>= 1);return s;}
void prework(int m)
{
    memset(S,0,sizeof(S));
    S[0][0] = 1;
    for (int i = 1;i <= m;i++)
        for (int j = 1;j <= i;j++)
            S[i][j] = (S[i - 1][j - 1] + 1ll * (i - 1) * S[i - 1][j] % p) % p;
}
class CountTables
{
    public :
    int howMany(int n,int m,int c)
    {
        prework(m);
        int ans = 0;
        for (int i = 1;i <= m;i++)
        {
            int now = mypow(c,i);
            f[i] = 1;
            for (int j = 1;j <= n;j++)
                f[i] = 1ll * f[i] * (now - j + 1) % p;
        }
        for (int i = 1;i <= m;i++)
            ans += 1ll * S[m][i] * ((m - i) % 2 == 0 ? 1 : -1) * f[i] % p,ans %= p;
        return (ans + p) % p;
    }
};