[2020多校A层11.30] 选举

有一个长度为 \(N\) 的字符串 \(S[1\dots N]\)，它仅由 \(C\) 和 \(T\) 两种字母组成。

现在有 \(Q\) 个查询，每个查询包含两个整数 \(L\) 和 \(R\) ，表示：设新字符串 \(S'=S[L\dots R]\) ，至少在 \(S'\) 中要删除多少个字符，才能保证：对于 \(S'\) 的每一个前缀与每一个后缀，其 \(C\) 的数量都不小于 \(T\) 的数量。

\(N,Q\le 5\times 10^5\)

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还不错的一道题，只不过考试的时候没来得及仔细想。

考虑怎么求出这个答案，设 \(C=1,T=-1\) ，我们可以从前往后扫前缀和 \(s\) ，如果 \(s\) 遇到 \(-1\) 变成负数了，那么一定要删掉当前的；做完这个操作之后再在当前删完的区间中做后缀和判断。

这样贪心一定是对的，因为前缀和是负数的话一定删最后面的，后缀和同理。

我们再进一步观察这个做法，发现删除的一个 \(-1\) 既可以在前缀被删除，也可以在后缀被删除，那么就相当于存在一个分解点，分界点前的最小前缀和是要删去的 \(-1\) 个数，分界点后的最小后缀和是要删除的 \(-1\) 个数（取绝对值），并且要最大化。那么就会有下面这个形式化的式子：

\[ans=\max_{i=l}^{r}(\max_{j=l}^{i-1}(s_{l-1}-s_j)+\max_{k=i+1}^r(s_k-s_r)) \]

化简可以得到：

\[ans=(\max_{k=l+1}^r\max_{j=k}^rs_k-s_j)-(s_r-s_{l-1}) \]

发现前面就是一个最大子段和，各种数据结构维护都可以。

Code

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
const int N = 5e5;
using namespace std;
int n,q,s[N + 5];
char ch[N + 5];
struct node
{
    int pre,suf,sm,ans;
};
node operator +(node a,node b)
{
    a.ans = max(a.ans,b.ans);
    a.ans = max(a.ans,a.suf + b.pre);
    a.suf = max(a.suf + b.sm,b.suf);
    a.pre = max(a.pre,a.sm + b.pre);
    a.sm += b.sm;
    return a;
}
struct Seg
{
    node s[N * 4 + 5];
    #define zrt k << 1
    #define yrt k << 1 | 1
    void build(int k,int l,int r)
    {
        if (l == r)
        {
            if (ch[l] == 'C')
                s[k].pre = s[k].suf = s[k].sm = s[k].ans = 1;
            else
                s[k].sm = -1;
            return;
        }
        int mid = l + r >> 1;
        build(zrt,l,mid);
        build(yrt,mid + 1,r);
        s[k] = s[zrt] + s[yrt];
    }
    node query(int k,int l,int r,int x,int y)
    {
        if (l >= x && r <= y)
            return s[k];
        int mid = l + r >> 1;
        if (x > mid)
            return query(yrt,mid + 1,r,x,y);
        if (y <= mid)
            return query(zrt,l,mid,x,y);
        return query(zrt,l,mid,x,y) + query(yrt,mid + 1,r,x,y);
    }
}tree;
int main()
{
    //freopen("elections.in","r",stdin);
    //freopen("elections.out","w",stdout);
    scanf("%d",&n);
    scanf("%s",ch + 1);
    for (int i = 1;i <= n;i++)
    {
        s[i] = s[i - 1];
        if (ch[i] == 'C')
            s[i]++;
        else
            s[i]--;
    }
    tree.build(1,1,n);
    int l,r;
    scanf("%d",&q);
    while (q--)
    {
        scanf("%d%d",&l,&r);
        printf("%d\n",tree.query(1,1,n,l,r).ans - (s[r] - s[l - 1]));
    }
    return 0;
}