线段树学习笔记

很久之前写的学习笔记，就搬过来了

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Q:线段树是什么?
A:一种数据结构，支持\(O(log(N))\)修改和查询区间，所以在\(N\)的序列\(M\)次查询下，复杂度只有\(O(Mlog(N))\)，相比起朴素算法的\(O(N)\)查询和修改，优秀的很多。

那么怎么实现呢？

我们不妨考虑一种下面这样的结构

怎么样，是不是很像一棵完全二叉树，这样子不难看出复杂度是\(O(log(N))\)级别的，但是要注意的一点是，线段树的数组一定要开到\(4N\)！

建树

对于这个题而言，我们用\(su[4N]\)数组来维护区间的和，那么此线段树可以通过递归的到，即\(build(k*2,l,mid)\)取得左儿子，\(build(k*2+1,mid+1,r)\)取得右儿子，当\(l=r\)时\(su\)便等于当前值\(a[l]\)。代码如下

ll build(ll k,ll l,ll r)
{
	if (l==r)
	{
		su[k]=a[l];
		return 0;
	}
	ll mid=(l+r)>>1;
	build(k*2,l,mid);
	build(k*2+1,mid+1,r);
	su[k]=su[k*2]+su[k*2+1];
}

区间加

如果说直接将v加到su里，那么肯定会tle,所以我们考虑用一个标记，即Lazy Tag,当要对区间\([x,y]\)进行加法，那么我们给这段区间打上标记，\(add[k]=v\)，在之后的询问和修改中再把标记进行下放，这样子的复杂的仍然是\(O(log(N))\)。代码如下

ll add(ll k,ll l,ll r,ll v)  //打标记
{
	ad[k]+=v;
	su[k]+=(r-l+1)*v;
}
ll pd(ll k,ll l,ll r,ll mid)  //下放标记
{
	if (!ad[k])return 0;
	add(k*2,l,mid,ad[k]);
	add(k*2+1,mid+1,r,ad[k]);
	ad[k]=0;
}
ll change(ll k,ll l,ll r,ll x,ll y,ll v) //区间加
{
	if (l>=x&&r<=y)return add(k,l,r,v);
	ll mid=(l+r)>>1;
	pd(k,l,r,mid);
	if (x<=mid)change(k*2,l,mid,x,y,v);
	if (mid<y)change(k*2+1,mid+1,r,x,y,v);
	su[k]=su[k*2]+su[k*2+1];
}

区间询问和

这个就变得非常简单了，只要分别递归有关x和y的区间，加起来即可。注意在询问时也要下放标记。 代码如下

ll que(ll k,ll l,ll r,ll x,ll y)
{
	if (l>=x&&r<=y)return su[k];
	ll mid=(l+r)>>1,res=0;
	pd(k,l,r,mid);
	if (x<=mid)res+=que(k*2,l,mid,x,y);
	if (mid<y)res+=que(k*2+1,mid+1,r,x,y);
	return res;
}

区间乘

既然多了乘法，我们肯定就要再开一个\(LazyTag:mu[4*N]\)，开始时一定要初始化为1！，而和加法的\(LazyTag\)不同的是在改变乘法\(LazyTag\)时，也要改变加法的\(LazyTag\),即

ll mul(ll k,ll l,ll r,ll v)
{
	mu[k]=(mu[k]*v)%p;
	ad[k]=(ad[k]*v)%p;
	su[k]=(su[k]*v)%p;
}

然后我们再考虑\(pushdown\)操作，假如一个序列\([1,3,5,9,12]\),先在\([2,4]\)区间加上一个数\(k\),序列变为\([1,3+k,5+k,9+k,12]\),然后在\([3,5]\)区间乘上一个数\(r\),序列变为\([1,3+k,(5+k)*r,(9+k)*r,12*r]\),
由此看出，我们如果先\(pushdown\)加法，再\(pushdown\)乘法，会导致之前的加法也被乘一次，也就是\((a+b)*c\)但\(b\)并不需要\(*c\),也就是我们想要\(a*c+b\),所以就要先\(pushdown\)乘法，再\(pushdown\)加法,即

pudn(k,l,r,mid);//乘法
pd(k,l,r,mid);//加法