洛谷 NOIP提高组模拟赛 Day1
## $T1$
一道结论题，设原来A队能力最大的是x，那么A队的选择方案就是$2^{x-1}$，B队的选择方案就是$(2^{n-x}-1)$种，因为不能不选。其中$1\leq x\leq n$，那么根据乘法原理，最后的答案就是 $\sum\limits^{n-1}_{x=1}2^{x-1}*(2^{n-x}-1)$，化简可得 $ans=n*2^{n-1}-(2^{n}-1)$，然后一个快速幂就行了。
#include<iostream> #include<cstdio> #include<cstdlib> #define int long long using namespace std; const int mod = 1e9+7; typedef long long LL; int n; int fast_pow(int x,int y){ int ret=1; for(;y;y>>=1){ if(y&1) ret=(LL)ret*x%mod; x=(LL)x*x%mod; } return ret; } signed main(){ scanf("%lld",&n); int ans=(n*fast_pow(2,n-1)%mod-(fast_pow(2,n)-1)%mod+mod)%mod; cout<<ans<<endl; return 0; }
## $T2$
一道比较套路的题吧，首先肯定是先按每个物品的消失时间排序，然后就可以跑背包了，$f[i][j]$表示到了第$i$个物品，时间为$j$的最大收益，时间复杂度$O(n*MAX\_D)$。输出方案考试时候想了挺久。。。其实就是倒着走回去。
#include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> #include<cstdlib> #include<algorithm> using namespace std; const int MAXN = 105; inline int rd(){ int x=0,f=1;char ch=getchar(); while(!isdigit(ch)) {f=ch=='-'?0:1;ch=getchar();} while(isdigit(ch)) {x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();} return f?x:-x; } int n,ans,lx,ly,all[MAXN],cnt; int f[MAXN][2005]; struct Node{ int t,w,d,id; }data[MAXN]; inline bool cmp(Node A,Node B){ return A.d<B.d; } int main(){ // freopen("T2.out","w",stdout); n=rd(); for(int i=1;i<=n;i++) data[i].t=rd(),data[i].d=rd(),data[i].w=rd(),data[i].id=i; sort(data+1,data+1+n,cmp); for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=0;j<data[i].d;j++){ f[i][j]=f[i-1][j]; if(j>=data[i].t) f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-data[i].t]+data[i].w); } for(int i=0;i<=data[n].d;i++) if(f[n][i]>ans) { ans=f[n][i]; ly=i; } lx=n;cout<<ans<<endl; for(int i=n;i;i--) for(int j=ly;j>=0;j--) if(f[i][j]==ans) { if(f[i-1][j]!=f[i][j]) ans-=data[i].w,all[++cnt]=data[i].id; ly=j;break; } printf("%d\n",cnt); for(int i=cnt;i;i--) printf("%d ",all[i]); return 0; }
## $T3$
考试的时候没有做出来，后来经过$G \color{red} {hostCai}$神犇的指点，才知道用网络流做，开一个超级源点$S$和一个超级汇点$T$，然后将每个点拆成左部点和右部点，$S$向左部点连流量为$a[i]$的点，表示每个点至多能向其他点给出$a[i]$的能量，左部点向能到达的右部点连流量为$inf$的边(注意要连自己)，右部点向汇点连流量为$b[i]$的边，表示最多收到$b[i]$的能量，然后跑一个最大流，看所有右部点到汇点的边是否满流，不满说明无解。再看每个左部点到所有右部点的反边的流量即为答案。
#include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> #include<cmath> #include<queue> #define czq namespace using czq std; const int MAXN = 205; const int MAXM = 2005; const int inf = 0x3f3f3f3f; inline int rd(){ int x=0,f=1;char ch=getchar(); while(!isdigit(ch)) {f=ch=='-'?0:1;ch=getchar();} while(isdigit(ch)) {x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();} return f?x:-x; } int n,m,head[MAXN],to[MAXM],val[MAXM],nxt[MAXM]; int cnt=1,a[MAXN],b[MAXN],S,T,cur[MAXN],d[MAXN],ans[MAXN][MAXN]; queue<int> Q; inline void add(int bg,int ed,int w){ to[++cnt]=ed,nxt[cnt]=head[bg],val[cnt]=w,head[bg]=cnt; to[++cnt]=bg,nxt[cnt]=head[ed],val[cnt]=0,head[ed]=cnt; } bool bfs(){ memset(d,0,sizeof(d)); while(Q.size()) Q.pop(); Q.push(S);d[S]=1; while(Q.size()){ int x=Q.front();Q.pop(); for(register int i=head[x];i;i=nxt[i]){ int u=to[i]; if(!d[u] && val[i]){ d[u]=d[x]+1; if(u==T) return true; Q.push(u); } } } return false; } int dinic(int x,int flow){ if(x==T) return flow; int res=flow,k; for(register int &i=cur[x];i && res;i=nxt[i]){ int u=to[i]; if(val[i] && d[u]==d[x]+1){ k=dinic(u,min(res,val[i])); if(!k) d[u]=0; val[i]-=k;res-=k;val[i^1]+=k; // cout<<k<<endl; } } return flow-res; } int main(){ n=rd(),m=rd();int x,y;S=2*n+1,T=2*n+2; for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=rd(),add(S,i,a[i]),add(i,i+n,inf); for(int i=1;i<=n;i++) b[i]=rd(),add(i+n,T,b[i]); for(int i=1;i<=m;i++){ x=rd(),y=rd(); add(x,y+n,inf); add(y,x+n,inf); } while(bfs()) {memcpy(cur,head,sizeof(head));dinic(S,inf);} for(register int i=head[T];i;i=nxt[i]) if(val[i^1]) {puts("NO");return 0;} puts("YES"); for(register int i=1;i<=n;i++) for(register int j=head[i];j;j=nxt[j]){ int u=to[j]; ans[i][u-n]+=val[j^1]; } for(register int i=1;i<=n;i++){ for(register int j=1;j<=n;j++) printf("%d ",ans[i][j]); putchar('\n'); } return 0; }
