线性DP——伴随插入、删除操作

T1编辑距离

题目描述

设 \(A\) 和 \(B\) 是两个字符串。我们要用最少的字符操作次数，将字符串 \(A\) 转换为字符串 \(B\)。这里所说的字符操作共有三种：

1. 删除一个字符；
2. 插入一个字符；
3. 将一个字符改为另一个字符。

\(A, B\) 均只包含小写字母。

输入格式

第一行为字符串 \(A\)；第二行为字符串 \(B\)；字符串 \(A, B\) 的长度均小于 \(2000\)。

输出格式

只有一个正整数，为最少字符操作次数。

样例 #1

样例输入 #1

sfdqxbw
gfdgw

样例输出 #1

4

提示

对于 \(100 \%\) 的数据，\(1 \le |A|, |B| \le 2000\)。

最近遇到了很多类似这样的题，所以把这些题整理在一起。刚开始我以为这个黄题，可以使用贪心模拟来做，但是贪心是错的，我们来DP考虑

对于修改操作而言，非常好做，因为它不会改变字符串的长度

对于插入和删除操作，插入会增加长度，删除操作会减少长度，对于这样的DP，我们会设定\(dp[i][j]表示将A串前i个位置变成B串前j个位置的最少编辑距离是多少？\)刚开始的想法是，如果我们在A串第i个位置插入字符串之后，A串的i+1个位置就变化了，这怎么DP呢？

做这种题的宗旨是无论插入、删除操作，我们不要让插入和删除操作影响原来的位置关系

对于这道题而言，假设\(a[i]==b[j]，那么f[i][j]=f[i-1][j-1]，如果a[i]!=b[j]呢，我们需要进行插入、删除和修改操作，如果我们进行插入操作，那么b[j]就要和插入的字符匹配，a[i]和b[j-1]进行匹配，f[i][j]=f[i][j-1]+1，如果我们进行的是删除操作呢，b[j]和a[i-1]就匹配好了，所以f[i][j]=f[i-1][j]+1,如果是修改操作的话，就更简单了，f[i][j]=f[i-1][j-1]+1,这个题就做完了\)

点击查看代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
char s[2005],t[2005];
int f[2005][2005]; 
int main(){
	scanf("%s%s",s+1,t+1);
	int n=strlen(s+1);
	int m=strlen(t+1);
	memset(f,0x3f,sizeof f);
	f[0][0]=0;//边界，假设只有一个字符 
	for(int i=1;i<=n;i++)
		f[i][0]=i;// 需要进行i次删除操作
	for(int i=1;i<=m;i++)
		f[0][i]=i;// 需要进行i次添加操作 
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=m;j++){
			if(s[i]==t[j]) f[i][j]=f[i-1][j-1];
			else{
				f[i][j]=min(f[i-1][j]+1,f[i][j-1]+1);
				f[i][j]=min(f[i][j],f[i-1][j-1]+1);
			}
		}
	cout<<f[n][m]<<endl;
	return 0;
}

T3 回文

题目描述

从前有一个萌萌哒的由小写字母构成的字符串S。但它觉得如果自己不是回文串的话就非常无聊，所以它想要添加一些字符，使自己变成回文串。
添加每种字符都会有“1”的代价。
它想知道将自己变成回文串的最小代价。但因为字符串不会写代码，所以它把这个任务交给了你。

题解

这个题是通过添加字符的方式，使得字符串变成回文串，我们知道回文一定是一个区域，所以我们设\(f[i][j]表示使得i和j之间变成回文添加字符的最小代价，既然是区域问题，肯定是由小变大，所以这个类似于区间dp的形式，假设a[i]==b[j],那么f[i][j]=f[i+1][j-1],如果a[i]!=b[j]呢？这个时候就需要通过添加的方式使其变成回文，无非是需要在i和j两个位置添加，如果在j这个位置添加，那么i+1到j的位置已经构成回文，j位置添加的字符和a[i]构成回文，如果在i这个位置添加，那么f[i][j]=f[i][j-1]+1,也就是说在第i个位置添加的是a[j]，这样，这个题就做完了\)

修改

如果我们在这个题中加入了删除操作，该怎么弄？
\(本质上删除操作，其实和插入操作大体一致，假设删除a[i],则i+1到j构成回文，假设删除a[j],则i到j-1构成回文\)

相关的题目是oj 回文2(辽宁考试)