[春季测试 2023] 幂次

题目描述

小 Ω 在小学数学课上学到了“幂次”的概念：\(\forall a, b \in \N^+\)，定义 \(a^b\) 为 \(b\) 个 \(a\) 相乘。

她很好奇有多少正整数可以被表示为上述 \(a^b\) 的形式？由于所有正整数 \(m \in N^+\) 总是可以被表示为 \(m^1\) 的形式，因此她要求上述的表示中，必须有 \(b \geq k\)，其中 \(k\) 是她事先选取好的一个正整数。

因此她想知道在 \(1\) 到 \(n\) 中，有多少正整数 \(x\) 可以被表示为 \(x = a^b\) 的形式，其中 \(a, b\) 都是正整数，且 \(b \geq k\)？

输入格式

第一行包含两个正整数 \(n, k\)，意义如上所述。

输出格式

输出一行包含一个非负整数表示对应的答案。

样例 #1

样例输入 #1

99 1

样例输出 #1

99

样例 #2

样例输入 #2

99 3

样例输出 #2

7

样例 #3

样例输入 #3

99 2

样例输出 #3

12

提示

【样例 2 解释】

以下是全部 \(7\) 组符合题意的正整数及对应的一种合法的表示方法。

\(1 = 1^3, 8 = 2^3, 16 = 2^4, 27 = 3^3, 32 = 2^5, 64 = 4^3, 81 = 3^4\)

注意某些正整数可能有多种合法的表示方法，例如 \(64\) 还可以表示为 \(64 = 2^6\)。

但根据题意，同一个数的不同的合法表示方法只会被计入一次。

【样例 3 解释】

以下是全部 \(12\) 组符合题意的正整数及对应的一种合法的表示方法。

\(1 = 1^2, 4 = 2^2, 8 = 2^3, 9 = 3^2, 16 = 4^2, 25 = 5^2, 27 = 3^3, 32 = 2^5, 36 = 6^2, 49 = 7^2, 64 = 8^2, 81 = 9^2\)

【样例 4】

见选手目录下的 power/power4.in 与 power/power4.ans。

【样例 5】

见选手目录下的 power/power5.in 与 power/power5.ans。

【样例 6】

见选手目录下的 power/power6.in 与 power/power6.ans。

【数据范围】

对于所有数据，保证 \(1 \leq n \leq 10^{18}\)，\(1 \leq k \leq 100\)。

测试点编号	\(n \le\)	\(k\)
1	\(10^2\)	\(=1\)
2	\(10^2\)	\(\ge 2\)
3	\(10^4\)	\(\ge 3\)
4	\(10^4\)	\(\ge 2\)
5	\(10^6\)	\(\ge 3\)
6	\(10^6\)	\(\ge 2\)
7	\(10^8\)	\(\ge 3\)
8	\(10^8\)	\(\ge 2\)
9	\(10^{10}\)	\(\ge 3\)
10	\(10^{10}\)	\(\ge 2\)
11	\(10^{12}\)	\(\ge 3\)
12	\(10^{12}\)	\(\ge 2\)
13	\(10^{14}\)	\(\ge 3\)
14	\(10^{14}\)	\(\ge 2\)
15	\(10^{16}\)	\(\ge 3\)
16	\(10^{16}\)	\(\ge 2\)
17	\(10^{18}\)	\(\ge 3\)
18	\(10^{18}\)	\(\ge 2\)
19	\(10^{18}\)	\(\ge 2\)
20	\(10^{18}\)	\(\ge 2\)

题解

首先看到这种\(a^b\)这种情况，我就知道能枚举的数量有限，我算了一下，\(x^3=1e18\)时，x的值为251188，所以我先尝试写了一个暴力，那就是枚举指数，枚举底数，用快速幂算一下\(a^b\)的值，同时我用标记数组记录x是否被计算过，这样的时间复杂度也不会很大

上述算法有个问题需要注意，标记数组能算的非常有限，所以只能得到40分的好成绩，所以我需要改进每个数被记录的方式。我用标记数组其实有点儿浪费，因为里面有很多数都没有被用过，比如说2，3，5，6，7等数，所以我想到我用map来记录，修改之后，成绩就变成了75了，好，非常棒

那么剩下的没得分的原因是什么呢？因为刚才的考虑是指数至少是3，如果是2的话，如果n=1e18，那么至少需要枚举到1e9，这样的话，肯定会T，但是我要记录1到1e18里有多少个完全平方数啊？个数非常好记录，同时我要知道他被用过，按照刚才的思路，得把它记录在map中，这样的话，时间复杂度就上去了，这就出现了矛盾

转念一想，我其实没有必要记录到map中，如果在指数大于等于3的时候，我们发现一个数符合条件，我们只需要判断一下，他是否是完全平方数即可，这样时间复杂度就降下来了，嗯，非常棒

另一方面，当指数为1时，肯定n以内的所有数都符合要求，所以个数就是n，所以直接输出，单独处理

有了这样的完整思路，我把代码交上去，发现95分，原因在这里，请看下图

点击查看代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long n,ans;
int k;
unordered_map<long long,bool>p;
long long ksm(long long x,int y){
    long long ans=1;
    while(y){
        if(y&1) ans=ans*x;
        x=x*x;
        y=(y>>1);
    }
    return ans;
}
bool pd(long long x){
    long long k=sqrt(x);
    if(k*k==x) return true;
    else return false;
}
int main(){
    scanf("%lld%d",&n,&k);
    if(k==1){
        printf("%lld",n);
        return 0;
    }
    if(k==2){
        long long mx=sqrtl(n);
        ans+=mx-1;
    }
    for(int i=3;;i++){
        if(ksm(2,i)>n) break;
        long long x=pow(n,1.0/i);
        for(long long j=2;j<=x;j++){
            long long d=ksm(j,i);
            if(d<=n){
                if(p[d]==false) {
                    if(pd(d)==true&&k==2) continue;
                    p[d]=true;
                    ans++;
                }
            }
            else break;
        }

    }
    printf("%lld",ans+1);
    return 0;
}