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赏月斋源码共享计划 第四期 约瑟夫问题

约瑟夫问题求解及优化

问题描述

在一间房间总共有n个人，给定一个数k，然后按照如下规则去杀人：

  1. 所有人围成一个圆圈，按顺时针依次给所有人编号：1, 2, 3…, n
  2. 由编号1开始报数，按顺时针方向，报到数字k的人将被杀掉
  3. 被杀掉的人从房间内被移走，从被杀的下一个人重新由1开始报数
  4. 报到数字k的人再次被杀掉，再移走，再次开始报数，一直杀到最后剩余一个人

最后剩余的人活命。

那么，给定了 n 和 k，最后活下来的人的编号是几？

思路一

根据问题描述，可以使用循环单链表模拟杀人过程：

  1. 表头是1号，表尾是n号，循环单链表的表尾指向表头模拟圆圈
  2. 指针从表头1号开始走，当指到第k个节点时，即当报k的被杀时，就将该节点从链表中删除。
  3. 删除该节点后，从该节点的下一个节点开始，再从1走到k,
  4. 再次删除第k节点，一直到某节点的下一个节点指向自己，说明只有一个节点了，即最后活下的人

根据上面分析循环单链表的操作过程，代码实现如下：

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class Node(object):
def __init__(self, value):
self.value = value
self.next = None
 
def create_linkList(people_num):
"""创新循环单链表"""
head = Node(1)
pre = head
for i in range(2, people_num+1):
newNode = Node(i)
pre.next = newNode
pre = newNode
pre.next = head
return head
 
people_num = 5 # 总人数
k = 2 #报k被杀
 
if k == 1:
print("最后存活编号：" + str(people_num))
else:
head = create_linkList(people_num)
pre = None
cur = head # 当前报数的人
while cur.next != cur: # #终止条件是节点的下一个节点指向本身,即只剩一个节点
for i in range(k-1):
# 走到第k节点
pre = cur
cur = cur.next
print("杀掉：" + str(cur.value)) # 被删除节点编号
# 删除节点
pre.next = cur.next
# 从被删除节点的下一个节点从新报数
cur.next = None
cur = pre.next
print("最后存活者编号是:" + str(cur.value))

这种方法的时间复杂度为：O(n*k),当人数量n很大，报的数k也很大时，并不适用。

思路二

递归思路，假设房间共有n = 10个人，初始编号为1,2,3,…10，设初始编号对应的编号位置为0, 1, 2, …9, 每次数到k = 3的人杀死，求最后活下来的人的初始编号是几？

来看杀人过程：

约瑟夫问题递归思路求解过程约瑟夫问题递归思路求解过程

(表中红色为报数k=3的被杀死的人的编号，绿色为最后活下来的人的编号)

仔细观察表中每一轮初始编号的移动规律：

第二轮到第一轮的编号移动规律： (第二轮的编号x的编号位置 + k) % 10 ==> 第一轮编号x的编号位置
比如第二轮编号5的编号位置是1， (1 + 3) % 10 ==> 4, 得到第一轮编号5的的编号位置是4

进而得到第三轮到第二轮的编号移动规律：(第三轮编号x的编号位置 + k) % 9 ==> 第二轮编号x的编号位置
比如第三轮编号5的编号位置是7， (7 + 3) % 9 –> 1, 得到第二轮编号5的的编号位置是1

进而得到第N轮与第N-1轮的编号移动规律：(第N轮的编号x的编号位置 + k) % 第N-1轮总人数 ==> 第N-1轮编号x的编号位置

最后一轮存活着的编号x对应的编号位置一定是0， 那么根据以上规律，可以得到倒数第二轮编号x对应的编号位置，根据规律进一步可以得到倒数第三轮编号x对应的编号位置， 一直可以推导出第一轮编号x的对应编号位置，由第一轮编号x的对应编号位置+1得到的便是最后存活的人的初始编号。

由上总结，当房间共有n个人，报数k杀死时，令f(n, k)表示最后存活着的编号位置，则有递归公式：

  • n = 1: f(1, k) = 0;
  • n > 1: f(n, k) = (f(n-1, k) + k) % n;

有了递推公式以后，代码实现如下：

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def josephus(n, k):
if n == 1:
return 0
else:
return (josephus(n - 1, k) + k) % n
 
n = 10
k = 3
print("最后存活者编号是：", josephus(n, k)+1) # 4

对思路二的优化

对递归思路的进一步优化，假设n非常大，而k又比较小，比如n=100, k=3, 被杀过程如下：

  • 第一轮： 有100个人，每次报k=3的被杀，总共杀死了 math.floor(100/3) = 33个人，剩余67个人
  • 第二轮： 有67个人，每次报k=3的被杀，总共杀死了 math.floor(67/3) = 22个人，剩余45个人
  • 第三轮： 有45个人，每次报k=3的被杀，总共杀死了 math.floor(45/3) = 15个人，剩余30个人
  • 第四轮： 有30个人，每次报k=3的被杀，总共杀死了 math.floor(30/3) = 10个人，剩余20个人
  • 第五轮： 有20个人，每次报k=3的被杀，总共杀死了 math.floor(20/3) = 6个人，剩余14个人
  • 第六轮： 有14个人，每次报k=3的被杀，总共杀死了 math.floor(14/3) = 4个人，剩余10个人
  • 第七轮： 有10个人，每次报k=3的被杀，总共杀死了 math.floor(10/3) = 3个人，剩余7个人
  • 第八轮： 有7个人，每次报k=3的被杀，总共杀死了 math.floor(7/3) = 2个人，剩余5个人
  • 第九轮： 有5个人，每次报k=3的被杀，总共杀死了 math.floor(5/3) = 1个人，剩余4个人
  • 第十轮： 此时，总人数n=4, 报的数k=3，再利用思路二中的递归方法求解最后剩余者编号

在上面杀人过程中，通过建立n/k的步长加快了杀人的速度，减少了算法时间。可以从下面这幅图中更加清晰的体会到：

约瑟夫问题递归思路求解过程优化约瑟夫问题递归思路求解过程优化

本来需要10轮的，现在只需要7轮，如果n=100，k=3的话优化效果会更明显。

根据以上分析，优化方法如下：

  • math.floor(n/k) == 1: 用思路二中方法求解
  • math.floor(n/k) > 1: n = n - math.floor(n/k)

实现代码：

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import math
def josephus(n, k):
if n == 1:
return 0
else:
return (josephus(n - 1, k) + k) % n
 
def kill_people(n, k):
while math.floor(n/k) > 1:
# 建立一个步长为n/k的递归过程；
n = n - math.floor(n/k)
kill_people(n, k)
 
live_index = josephus(n, k)
return live_index+1
 
n = 10
k = 3
 
print("最后存活者编号是", kill_people(n,k))

思路三

使用数组存储房间中的每个人: arr = [ i for i in range(1, 10+1) ]
arr数组代表房间里的10个人：[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10]
每次被杀的人的编号： kill_num = (kill_num + k - 1) % len(arr)。 其中的(k-1)对应数组的下标
有了被杀人的的编号后，将其pop出数组。
然后再次计算下一个被杀人的编号，直到数组中只剩一个人。

代码实现：

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def josephus(n, k):
arr = [ i for i in range(1, n+1) ]
kill_num = 0
while len(arr) != 1:
kill_num = (kill_num + k - 1) % len(arr)
print("杀死：" + str(arr.pop(kill_num)))
return arr[0]
 
 
n = 10
k = 3
print("最后存活者编号是：", josephus(n, k)) # 4

对思路三的优化

在思路三中需要构建一个数组，也可以不用数组来减少内存。使用动态规划来解：

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def Josephus(n, k):
kill_num = 0
for i in range(1, n+1):
kill_num = (k + kill_num) % i
return kill_num + 1
 
n = 5
k = 2
print("最后存活者编号：", Josephus(n, k))

最后这个动态规划的方法来自：https://www.quora.com/What-is-the-best-solution-for-Josephus-problem-algorithm

 

约瑟夫问题

约瑟夫问题是个著名的问题：N个人围成一圈，第一个人从1开始报数，报M的将被杀掉，下一个人接着从1开始报。如此反复，最后剩下一个，求最后的胜利者。
例如只有三个人，把他们叫做A、B、C，他们围成一圈，从A开始报数，假设报2的人被杀掉。

  • 首先A开始报数，他报1。侥幸逃过一劫。
  • 然后轮到B报数，他报2。非常惨，他被杀了
  • C接着从1开始报数
  • 接着轮到A报数，他报2。也被杀死了。
  • 最终胜利者是C

解决方案

普通解法

刚学数据结构的时候，我们可能用链表的方法去模拟这个过程，N个人看作是N个链表节点，节点1指向节点2，节点2指向节点3，……，节点N-1指向节点N，节点N指向节点1，这样就形成了一个环。然后从节点1开始1、2、3……往下报数，每报到M，就把那个节点从环上删除。下一个节点接着从1开始报数。最终链表仅剩一个节点。它就是最终的胜利者。
这里写图片描述

缺点：

要模拟整个游戏过程，时间复杂度高达O(nm)，当n，m非常大(例如上百万，上千万)的时候，几乎是没有办法在短时间内出结果的。

公式法

约瑟夫环是一个经典的数学问题，我们不难发现这样的依次报数，似乎有规律可循。为了方便导出递推式，我们重新定义一下题目。
问题： N个人编号为1，2，……，N，依次报数，每报到M时，杀掉那个人，求最后胜利者的编号。

这边我们先把结论抛出了。之后带领大家一步一步的理解这个公式是什么来的。
递推公式：

 
f(N,M)=(f(N−1,M)+M)%Nf(N,M)=(f(N−1,M)+M)%N

 

  • f(N,M)f(N,M)表示，N个人报数，每报到M时杀掉那个人，最终胜利者的编号
  • f(N−1,M)f(N−1,M)表示，N-1个人报数，每报到M时杀掉那个人，最终胜利者的编号

下面我们不用字母表示每一个人，而用数字。

 
1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、111、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11

表示11个人，他们先排成一排，假设每报到3的人被杀掉。

 

  • 刚开始时，头一个人编号是1，从他开始报数，第一轮被杀掉的是编号3的人。
  • 编号4的人从1开始重新报数，这时候我们可以认为编号4这个人是队伍的头。第二轮被杀掉的是编号6的人。
  • 编号7的人开始重新报数，这时候我们可以认为编号7这个人是队伍的头。第三轮被杀掉的是编号9的人。
  • ……
  • 第九轮时，编号2的人开始重新报数，这时候我们可以认为编号2这个人是队伍的头。这轮被杀掉的是编号8的人。
  • 下一个人还是编号为2的人，他从1开始报数，不幸的是他在这轮被杀掉了。
  • 最后的胜利者是编号为7的人。

下图表示这一过程（先忽视绿色的一行）
这里写图片描述

现在再来看我们递推公式是怎么得到的！
将上面表格的每一行看成数组，这个公式描述的是：幸存者在这一轮的下标位置

  • f(1,3)f(1,3)：只有1个人了，那个人就是获胜者，他的下标位置是0
  • f(2,3)=(f(1,3)+3)%2=3%2=1f(2,3)=(f(1,3)+3)%2=3%2=1：在有2个人的时候，胜利者的下标位置为1
  • f(3,3)=(f(2,3)+3)%3=4%3=1f(3,3)=(f(2,3)+3)%3=4%3=1：在有3个人的时候，胜利者的下标位置为1
  • f(4,3)=(f(3,3)+3)%4=4%4=0f(4,3)=(f(3,3)+3)%4=4%4=0：在有4个人的时候，胜利者的下标位置为0
  • ……
  • f(11,3)=6f(11,3)=6

很神奇吧！现在你还怀疑这个公式的正确性吗？上面这个例子验证了这个递推公式的确可以计算出胜利者的下标，下面将讲解怎么推导这个公式。
问题1：假设我们已经知道11个人时，胜利者的下标位置为6。那下一轮10个人时，胜利者的下标位置为多少？
答：其实吧，第一轮删掉编号为3的人后，之后的人都往前面移动了3位，胜利这也往前移动了3位，所以他的下标位置由6变成3。

问题2：假设我们已经知道10个人时，胜利者的下标位置为3。那下一轮11个人时，胜利者的下标位置为多少？
答：这可以看错是上一个问题的逆过程，大家都往后移动3位，所以f(11,3)=f(10,3)+3f(11,3)=f(10,3)+3。不过有可能数组会越界，所以最后模上当前人数的个数，f(11,3)=（f(10,3)+3）%11f(11,3)=（f(10,3)+3）%11

问题3：现在改为人数改为N，报到M时，把那个人杀掉，那么数组是怎么移动的？
答：每杀掉一个人，下一个人成为头，相当于把数组向前移动M位。若已知N-1个人时，胜利者的下标位置位f(N−1,M)f(N−1,M)，则N个人的时候，就是往后移动M为，(因为有可能数组越界，超过的部分会被接到头上，所以还要模N)，既f(N,M)=(f(N−1,M)+M)%nf(N,M)=(f(N−1,M)+M)%n

注：理解这个递推式的核心在于关注胜利者的下标位置是怎么变的。每杀掉一个人，其实就是把这个数组向前移动了M位。然后逆过来，就可以得到这个递推式。

因为求出的结果是数组中的下标，最终的编号还要加1

下面给出代码实现：

int cir(int n,int m)
{
    int p=0;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        p=(p+m)%i;
    }
    return p+1;
}
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posted @ 2018-10-03 16:49  stardsd  阅读(261)  评论(0)  编辑  收藏  举报