上界、下界与确界：Ο/Ω/Θ/ο/ω之间的区别

一、概述
Ο，读音：big-oh；表示上界，小于等于。

Ω，读音：big omega、欧米伽；表示下界，大于等于。

Θ，读音：theta、西塔；既是上界也是下界，称为确界，等于。

ο，读音：small-oh；表示上界，小于。

ω，读音：small omega；表示下界，大于。

Ο是渐进上界，Ω是渐进下界。Θ需同时满足大Ο和Ω，故称为确界。Ο极其有用，因为它表示了最差性能。

二、对常见的Ο和Ω进行分析
2.1 大O表示法
大O是我们在分析算法复杂度时最常用的一种表示法。

f(x) = O(g(x)) 表示的含义是f(x)以g(x)为上界

当函数的大小只有上界，没有明确下界的时候，则可以使用大O表示法，该渐进描述符一般用于描述算法的 最坏复杂度。

f(x) = O(g(x))正式的数学定义：存在正常数c、n、n0，当 n>n0 的时，任意的 f(n) 符合 0 <= f(n) <= c.g(n)。如下图所示

 

我们在分析各种排序算法时，一般都使用大O来表现算法的性能。当然，我们这里以一个很简单的嵌套循环为例，在分析这种简单算法的复杂度时，我们通常计算其中 关键步骤的执行次数 作为此算法的时间复杂度。

for (int i = 0; i < n; i++) {
    for (int j = i; j < n; j++) {
        ... // 关键步骤
    }
}

该算法外层执行了 n 次循环，如果内层也是 n 次循环，我们便可知道该算法时间复杂度为 n^2，但是该算法内层执行的循环次数会随着外层循环的进行依次减少，最大为n。所以，我们便可以确定该算法的时间复杂度有一个上界 n^2，即T(n) = O(n^2)

根据之前的介绍：即双重for循环的最差执行次数为 n^2，也就是O(n^2)。

常见的时间复杂度如图所示：

 

所耗时间从小到大依次是：

 

我们可以画一个函数图像清晰的看每个复杂度的时间对比：

 

2.2 大Ω表示法
大Ω是我们在分析算法复杂度时另外最常用的一种表示法。

f(x) = Ω(g(x)) 表示的含义是f(x)以g(x)为下界

当函数的大小只有下界，没有明确的上界的时候，可以使用大Ω表示法，该渐进描述符一般用与描述算法的 最优复杂度 。

f(n)= Ω(g(n)) 正式的数学定义：存在正常数c、n、n0，当 n > n0 的时，任意的 f(n) 符合 0 <= c.g(n) <= f(n)。如下图所示

 

从定义中，我们可以看到，大Ω是有一个下确界的，即最小是多少。

Note: 在online算法的竞争性分析中，如果算法A的性能是Ω(k)，算法B的性能是Ω(k^2)，由于我们要求竞争ratio越小越好，则Ω(k)优于Ω(k^2)。
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