【HEOI2015】小Z的房间

 题意

https://www.luogu.org/problemnew/show/P4111

 题解

前置知识：矩阵树定理

不要问证明，我不会，用就完事了（反正一般也不会用到）

 

因为矩阵树定理就是求一张 $n$ 个点的简单无向图的生成树个数，时间复杂度为 $O(n^3)$，再看看这道题的数据范围，$n,m\le 9$，直接矩阵树定理就可以了……

注意因为我们要求方案数，这个数可能很大，而我们用高斯消元把矩阵消成上三角的话，由于要用 $double$，会出现精度误差，这种小数运算的误差在这种求方案数的题中是不允许的（因为方案数就是一个准确的整数，没有保留几位小数之说）。所以这里采用辗转相除法把高斯消元的非整数倍消元 转成多次整数倍消元，具体实现见代码，就是对矩阵的两行进行类似于辗转相除的操作。总时间复杂度就在普通 $O(n^3)$ 高消基础上 乘上每次辗转相除的复杂度（辗转相除的复杂度是 $O(辗转相除的两数中较小数在斐波那契数列的第几项)$）。

upd：时间复杂度应该是 $O(n^3+n^2 P)$（$P$ 是模数，即值域），而不是网上大部分题解说的 $O(n^3 \log{P})$。证明（因为辗转相除的次数接近 $log$，我们可以近似地用 $log$ 表示辗转相除的复杂度）：

 

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define N 110
#define p 1000000000
using namespace std;
const int dx[2] = {-1, 0}, dy[2] = {0, -1};
inline int read(){
    int x = 0; bool f = 1; char c = getchar();
    for(; !isdigit(c); c=getchar()) if(c == '-') f = 0;
    for(;  isdigit(c); c=getchar()) x = (x<<3) + (x<<1) + (c^'0');
    if(f) return x;
    return 0 - x;
}
int n, m, tot, id[N][N];
bool e[N][N];
ll d[N][N];
char s[N];
ll solve(){
    int n = tot - 1;
    bool tr = 0;
    ll ans = 1;
    
    for(int i=1; i<=n; ++i){
        for(int j=i+1; j<=n; ++j){
            while(d[j][i]){
                ll tmp = d[i][i] / d[j][i];
                for(int k=1; k<=n; ++k){ //辗转相除 
                    d[i][k] = (d[i][k] - tmp * d[j][k] % p + p) % p;
                    swap(d[i][k], d[j][k]);
                }
                tr ^= 1;
            }
        }
        if(!d[i][i]) return 0;
        ans = ans * d[i][i] % p;
    }
    if(tr) ans = p - ans; //原型是 ans = -ans，交换奇数次行时，行列式值要取负 
    return ans;
}
int main(){
    n = read(), m = read();
    for(int i=1; i<=n; ++i){
        scanf("%s", s+1);
        for(int j=1; j<=m; ++j)
            if(s[j] == '.') e[i][j] = 1;
    }
    for(int i=1; i<=n; ++i){
        for(int j=1; j<=m; ++j){
            if(!e[i][j]) continue;
            id[i][j] = ++tot;
            int u = id[i][j];
            for(int k=0; k<2; ++k){
                int x = i + dx[k], y = j + dy[k];
                if(!e[x][y]) continue;
                int v = id[x][y];
                ++d[u][u], ++d[v][v],
                d[u][v] = (d[u][v] - 1 + p) % p, d[v][u] = (d[v][u] - 1 + p) % p;
            }
        }
    }
    cout << solve() << endl; 
    return 0;
}