【基础操作】FFT / DWT / NTT / FWT 详解
1.
2. 点值表示法
假设两个多项式相乘后得到的多项式 的次数（最高次项的幂数）为 $n$。（这个很好求，两个多项式的最高次项的幂数相加就得到了）
对于每个点，要用 $O(n)$ 的时间 把 $x$ 分别代入两个多项式，得到两个结果 $z_1,z_2$，两者相乘得到 $z$，才能知道相乘后的多项式在代入一个 $x$ 时会得到 $z$，也就是固定了一个点 $(x,z)$。
至少需要 $n$ 个点（也就是枚举 $n$ 个 $x$）才能确定一个 $n$ 次多项式（拉格朗日插值），总时间复杂度 $O(n^2)$，跟暴力差不多。
$FFT$（Fast Fourier transform，快速傅里叶变换）
$DFT$
即把多项式从系数表示法转成点值表示法。
先考虑暴力做法。我们要选 $n$ 个 $x$ 代入多项式 $A(x)$。因为代入单位根时，$\text{IDFT}$ 会很方便（只需要在最后把所有系数除以 $n$），所以我们令它们为 $n$ 次单位根的 $0$ 到 $n-1$ 次方（关于单位根和单位圆的知识移步这里）。注意由于单位根是复数，所以点值表示法的 $n$ 个坐标的横纵坐标也都是复数。
$IDFT$
即把多项式从点值表示法转成系数表示法。
参考此文“为什么要使用单位根作为 $x$ 代入”及“一个结论”部分。
$NTT$（Number-Theoretic Transform，快速数论变换）
在 $FFT$ 中，我们需要用到复数，复数虽然很神奇，但是它也有自己的局限性——
- 需要用 $double$ 类型计算，精度太低；
- 复数是虚数，它里面的 $i=\sqrt{-1}$，并不能取模。
那有没有什么东西能够代替复数且解决精度问题呢？
这个东西，叫原根
对于高中的 $OIer$ 而言，暂时不用证明这种没法证明的数学知识，记个结论就行了，其实现也只需要在普通的 $FFT$ 上改一点点。
阶
若 $a,p$ 互素，且 $p>1$，
对于 $a^n≡1 \pmod p$ 最小的 $n$，我们称之为 $a$ 模 $p$ 的阶，记做 $\delta_p(a)$。也就是 $n=\delta_p(a)$。
例如：
$δ7(2)=3$
$2^1≡2\space \pmod7$
$2^2≡4\space \pmod7$
$2^3≡1\space \pmod7$
原根
定义：设 $p$ 是正整数，$a$ 是整数，若 $\delta_p(a)$ 等于 $\varphi(p)$，则称 $a$ 为模 $p$ 的一个原根。
$\delta_7(3)=6=\varphi(7)$，因此 $3$ 是模 $7$ 的一个原根。
注意原根的个数是不唯一的。
这位同学讲得真好！
辅助结论（暂时对代码无帮助）
1. 如果模数 $p$ 有原根，那么它一定有 $\varphi(\varphi(p))$ 个原根。也就是说有些整数 $a$ 可能没有原根。
其实原根存在的充要条件为 $p ∈ {1,2,4,p^n}$，其中 $p$ 为奇素数且 $n$ 是任意正整数。
2. 若 $P$ 为素数，假设一个数 $g$ 是 $P$ 的原根，那么 $g^i\mod P\space (1\lt g\lt P,\space 0\lt i\lt P-1)$ 的结果两两不同。
用处
原根能代替单位根进行运算，是因为它具有和单位根相同的性质。
在 $FFT$ 中，我们用到了单位根的 $4$ 种性质，而原根也满足这 $4$ 条性质。
最终有个结论：$$\omega_n \equiv g^\frac{p-1}{n} \mod p$$
然后把 $FFT$ 中的 $\omega_n$ 全都换成上面这个即可。
由于多出来的快速幂是套在最外层的 $log$ 级别循环里的，因此 $NTT$ 的时间复杂度跟 $FFT$ 一样，是 $O(n\times log(n))$ 的（但是带大常数，因为分治内快速幂部分的复杂度实际上略高于 $O(log(n))$）。
怎么用代码求原根
$OI$ 的常见模数是 $P=998244353$，其原根 $n$ 为 $3$，原根的逆元为 $998244354÷3=332748118$（做 $IDFT$ 时要把之前 $DFT$ 乘的项除掉，而除法得改成乘逆元）。这个模数可以直接背。
如果一道题给了其它的模数，你可以在本机根据定义暴力求原根。
首先考虑求 $\varphi(p)$。
判断一下模数是不是素数（$O(\sqrt n)$ 就能判断，很快的），如果是的话，$\varphi(n)$ 就等于 $n-1$（忘了的建议回去复习下欧拉函数）；
否则求 $\varphi(n)$ 的值（其实时间复杂度也是 $O(\sqrt n)$），本机跑完后取出结果就行啦。
从小到大枚举正整数为原根 $a$，如果满足 $a^n\equiv 1\space \text{mod p}$ 的最小的 $n$ 是 $\varphi(p)$，则 $a$ 就是 $p$ 的原根。
由于你只需要在本机跑出一个原根，提出来即可，所以不用太管时间复杂度……
好像结束了吧（这部分锅了，请无视）
不，显然还没结束。不知道你有没有注意到这样一个问题：$a^n≡1 \pmod p$ 这个式子，如果 $a$ 取 $1$，那它在定义域内肯定是满足要求的，也就是说 $1$ 好像是可以直接取的通用原根？
那我们还暴力找原根干啥？
这说明你忘了原根的意义。
原根是用来代替 $FFT$ 中的 $\omega$ 的，而我们用 $\omega$ 是为了取 $n$ 个有特殊性质的不同点。
对，点值表示法一开始就说过，必须代入 $n$ 个不同的点，也就是 $n$ 个不同的取值 $x$。
显然，如果取 $a=1$，那 $a^n$ 的所有取值都相同，就不满足点值表示法的本质要求了。
所以原根不能取 $1$。
对于 $a$ 的其它取值，之前还说过一个辅助结论，进一步印证了 取不等于 $1$ 且在范围内的原根都是满足要求的：
若 $P$ 为素数，假设一个数 $g$ 是 $P$ 的原根，那么 $g_i\mod P\space (1\lt g\lt P,\space 0\lt i\lt P)$ 的结果两两不同。
FWT（Fast Walsh-Hadamard Transform，快速沃尔什变换）
结语
以前看到 $FFT$ 什么的数论神仙知识，总感觉很恶心，不是我这种蒟蒻可学的。
但现在真的学，加起来其实只学了 $2$ 天，就差不多搞明白了（吗）。
$OI$ 界的数学知识，并不要求你都严格证明，有些太叼的数学知识你可以先记个结论。
另外 $FFT$ 什么的东西都是数学板子，全文背诵都可以……
忠告：$FFT$ 系列的板子的常数都比较大，大约在 $n\le 200$ 时都跑得不如暴力快。
