【NOI2012】骑行川藏

获得成就：第一次在信竞做神仙数学题

 

先放个前言，$OI$ 出大型数学题还是比较麻烦的，因为主要是考你数学推导 / 手算式子，你算出来之后把公式套个板子，就得到结论——$OI$ 的大型数学题的代码都是板子……

然后再放一些前置物理知识——功的计算公式：$E(W)=F\times s$（$s$ 表示路程）。

首先，我们得知道题目隐含条件，就是人速不能小于等于风速，否则总时间就是无穷大了。

我们可以先给每段路随便分配个速度或时间，我这里分配的是时间。

然后时间又可以先分配为无限小或无限大，我这里分配成无限小，也就是 $1\times 10^{-7}\times \frac{1}{n}$（不能 $\le 0$）。

这样我们就可以算出每段的人速（$v_i=\frac{s_i}{t_i}$）。

也可以算出人总共做了多少功。

这时总功可能会超过限制。我们考虑增加人在某一段上骑行所用的时间，这样那一段的速度就会减小，力和功也随之减小。

这看起来很像个贪心。但做过 $dp$ 的人都知道，一步的最优选择不代表全局的最优选择。

如果要证明贪心是对的（即每一步的最优选择都属于全局的最优选择），我们得证明时间的导数在其有效区间中是单调上升的（这个有效区间就是 人速 $\gt$ 风速的部分）。

也就是说重点是把功的式子 $E=s_i\times k_i\times (\frac{s_i}{t_i}-v'_i)$ 求导数。

它的导数是 $$E'=(s_i\times k_i\times [2\times (\frac{s_i}{t_i}-v'_i)]\times (\frac{s_i}{t_i^2})$$

推导过程：

套用导数公式 $$\frac{dE}{dx}=\frac{dE}{dg}\times \frac{dg}{dx}$$

其意义是求 $E$ 以 $x$ 为底的导数，那么在这里 $dx=t_i^{-1}$。

可知如果设 $dg=\frac{s_i}{t_i}-v'_i$，则根据一些乱七八糟的导数公式可得

$$\frac{dE}{dg}=(s_i\times k_i\times [2\times (\frac{s_i}{t_i}-v'_i)]$$

由于 $v'_i$ 是给定的常数，它的导数值为 $0$，则 $$\frac{dg}{dx}=\frac{s_i}{t_i^2}$$

推导完毕。

不难发现这个导数式子是一个关于 $t_i$ 的 $-3$ 次方程，也就是 $t_i^{-1}$ 的 $3$ 次方程。而方程的图像状态只跟最高次数有关，所以它的图像大概就是 $3$ 次函数的样子：

然后我们考虑一下合法之前说过的有效区间在哪里（就是哪一段人速大于风速）。

但是我们发现横坐标好像有点碍事。我们发现总长是不变的，横坐标定义为时间的负 $x$ 次方，就跟定义为人速的正 $x$ 次方的趋势是一致的，也就是说两者画出来都是如上的三次方图像。

如果没明白，可以理解为把横纵坐标同乘上一个常数——$s_i$，然后横坐标就变成人速 $v_i$ 了，而原图像只是在纵方向上伸缩了。这样我们就得到了横坐标为 $v_i$ 的图像。

进一步地，我们还可以把横坐标再减去一个