CRT中国剩余定理

一、前言

引入题目：三个小朋友刚学数学没多久，由于不会进位，只能准确10以内的数。现在有一群羊，羊主人说数量不超过两百。小A每次数到5以后就又回到1开始数，最后剩了3只羊。小B每次数到7就回到1开始数，最后剩了5只羊。小C每次数到8之后就回到1开始数，最后剩余7只羊。请求出这群羊有多少只

二、分析题目

首先我们可以分析题目条件，

x % 5 == 3，为了建立同余方程我们把BC关联进去得到，因为bc的最小公倍数不会对b 和 c造成余数，只会对a造成余数

(b *  c) % 5 == 3，化简得：bc ≡ 3 (mod 5) 

也就是说我们需要在bc的公倍数中间找到一个数对5（也就是第一个人最多能数到的数5）求余等于3

根据exgcd证明可知如果bc 和 5互质，那么可利用exgcd得

bcx + 5y = 1得到次方程的一个解，因为余数为3，所以还需要乘以3，

 

依次把每一个都按照上面的步骤计算求和，最后对三个数的最小公倍数求和即可得到最小解了

 

代码如下：

#include "bits/stdc++.h"
using namespace std;
int exgcd(int &x,int &y,int a,int b)
{
    if(b  == 0){
        x = 1,y = 0;
        return a;
    }
    int d = exgcd(y,x,b,a % b);
    y = y - a/b * x;
    return d;
}
int main()//用CRT解决此类问题的前提是要保证互质，当然如果不互质我们也可以采用exCRT求解
{
    int b[10][2] = {{5,3},{7,5},{8,7}};
    int m = 1;
    int sum = 0;
    for(int i = 0;i <= 2;i++)
        m *= b[i][0];
    int a,p;
    for(int i = 0;i <= 2;i++){
        int M = m / b[i][0];
        int x = M;
        if(exgcd(a,p,x ,b[i][0])!= 1)   return 0;
        sum = sum + a * b[i][1] * M;
        //逆元*另外两个数的乘积*余数
        //前提条件是另外两个数的乘积 和 这个数互质，满足exgcd
        //此时可以求得互质的一组答案，但是我们要求的是余数为k的答案，所以我们应该乘以个k，把三个数的答案都相加即可得到该问题的一组解
        //此时如果我们要求解最小的解，我们可以对三个数的乘积求余，达到最小解
    }
    cout << (sum + m) % m << endl;//防止答案为负数，%m是求解最小解
    return 0;
}

三、总结

数论yyds！