一些有趣的等式

勾股数及相关

一

• \[3^2+4^2=5^2 \]

• \[3^3+4^3+5^3=6^3 \]

后者有几何含义吗？

二

• \[1729=1^3+12^3=9^3+10^3 \]

（——拉马努金：最小的可以有两种方式表示成两个整数的三次方的数）

• \[635318657=59^4+158^4=133^4+134^4 \]

（——欧拉的例子：最小的可以有两种方式表示成两个整数的四次方的数）

思考练习：最小的可以有两种方式表示成两个（正）整数的平方的数呢？

三

• \[12709^2+13500^2=18541^2 \]

（——古代苏美尔人用楔形文字记录在泥板上的勾股数）

这是用 \(54\) 和 \(125\) 生成的勾股数。

实际上，任何一组勾股数 \((a,b,c)\)，\(a,b,c\) 是正整数，且满足

\[a^2+b^2=c^2, \]

都可以按照

\[(a,b,c)=\ell(m^2-n^2,2mn,m^2+n^2) \]

\[(m,n,\ell\in\mathbb{Z}^+) \]

这个公式生成。

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指数函数和三角函数

欧拉公式及相关

• \[e^{i\pi}+1=0 \]

• \[e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta \]

• \[\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i},~\cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2} \]

• \[\arctan z=\frac{1}{2i}\ln\frac{i-z}{i+z} \]

一些三角函数的精确值

• \[\sin 18^\circ=\sin\frac{\pi}{10}=\frac{\sqrt{5}-1}{4} \]

• \[\tan 15^\circ=\tan\frac{\pi}{12}=2-\sqrt{3} \]

\(\sin 3^\circ\)，\(\sin 1^\circ\) 呢？？

• \[\arctan1+\arctan2+\arctan3=\pi \]

• \[\arctan1=\arctan\frac{1}{2}+\arctan\frac{1}{3} \]

\[\arctan x+\arctan\frac{1}{x}\equiv\frac{\pi}{2},~x>0 \]

• \[\arctan x+\arctan\frac{1}{x}=\frac{\pi}{2}\mathrm{sgn}(x) \]

高斯积分和菲涅耳积分

• \[\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}dx=\sqrt{\pi} \]

• \[\int_{-\infty}^{+\infty}\sin x^2dx=\sqrt{\frac{\pi}{2}} \]

（——注意 \(\sin x^2\) 一直在 \(-1\) 和 \(1\) 之间震荡，在无穷远处不收敛于 \(0\)）

求和，泽塔函数及相关

有限和

• \[1+2+3+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2} \]

• \[1^2+2^2+\cdots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \]

• \[1^2+3^2+5^2+7^2+\cdots+(2n-1)^2=n^2 \]

无限和

• \[1=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8} +\cdots+\frac{1}{2^n}+\cdots\]

• \[1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\cdots=\frac{\pi}{4} \]

（——莱布尼兹，等人）

• \[\frac{3}{2}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{5}{4}\cdot\frac{5}{6}\cdot\frac{7}{6}\cdot\frac{7}{8}\cdot\cdots=\frac{4}{\pi} \]

• \[1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots+\frac{1}{n^2}+\cdots=\frac{\pi^2}{6} \]

（——欧拉，\(1735\) 年）

• \[1-\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\cdots=\frac{\ln(1+\sqrt 2)}{\sqrt 2} \]

（——狄利克雷的公式）

其他

• \[\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}-\ln n\to\gamma~(n\to\infty) \]

\(\gamma\) 叫作欧拉常数，它是不是无理数，人们到目前还不知道。

• \[\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{2n}\to\ln2 \]

• \[\zeta(0)=-\frac{1}{2} \]

• \[n!\sim\frac{\sqrt{2\pi}\cdot n^{n+1/2}}{e^n} \]

• \[e^3\approx20,\quad\pi^3\approx31 \]

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参考文献 （略）
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