图的应用各种算法

图的应用是考察的重点
主要包括：最小生成树、最短路径、拓扑排序和关键路径。
不会直接考算法设计题，会结合具体的图的例子考察算法中的具体操作，需要熟悉算法的执行过程。

1.最小生成树

关于联通图的生成树：生成树包含图的全部顶点，并且只包含尽可能少的边一个图可以有多个不同的生成树对于一个带权连通无向图，不同的生成树可能有不同的权

最小生成树的概念：一个图的所有生成树中权值最小的一个或几个生成树

最小生成树有以下这些性质
1.一个图可能有多个不同的最小生成树，即最小生成树的树形不唯一
关于这点有两个特殊情况
当图中各个边的权值各不相同时，则这个图只能有一个最小生成树
若无向连通图的边数等于顶点数-1，则这个图的最小生成树就是它本身
2.最小生成树只是树形不唯一，但是其权值和是唯一的
即一个图的各个最小生成树的权值和相同
3.最小生成树中，边数=顶点数-1

最小生成树的构造算法
算法通用模板：

GENERIC_MST(G){
	T=NULL;
	while T未形成一颗生成树 //没有包括全部顶点
	    do 找一条权值最小且加入树中后不会产生回路的边e
	    将e加入生成树T中
}

prim算法

prim算法可以概括为：不断选择**合适的点**扩大最小生成树算法步骤： 1.选择任意一个顶点加入最小生成树T 2.继续选择一个与当前的T中顶点距离最小（也就是对应的边权值最小）的顶点，将这个顶点和对应的边加入T中 3.以此类推，直到T中包括图中的所有顶点，算法结束

算法描述：

void prim(G,T){
//考试中不会考算法设计，熟悉这个算法中的细节即可
	T=空集;//初始化空树
	U={w};//初始的点集
	while((V-U)!=空集){//算法结束的标志：T与G的点集相同
		选出(u,v),其中u∈U,v∈(V-U),且(u,v)在满足这个条件的前提下权值尽量小;
		T=T+{(u,v)};//并入新边
		U=U+{v};//添加新结点
	}
}

算法分析：
时间复杂度为O(V^2)，可以看出prim算法时间复杂度只与点的多少有关，与边数无关
适合用于边稠密的图

kruskal算法

这个算法是通过不断**选择合适的边**来构造生成树选边的标准：选择未被选过并且权值最小的边，并且**这条边的两个顶点落在不同的连通分量上** 直到T中所有顶点都在同一个连通分量上。

void Kruskal(V,T){
	T=V;//对生成树的初始化，这时T里只有顶点，没有边
	numS=n;//连通分量的个数，初始时有n个
	while(numS>1){//算法结束的标志：numS=1
		找到权值最小的边(u,v);
		if(u和v处在不同的连通分量中){
			T=T+{(u,v)};//将(u,v)并入T中
			numS--;
		}
	}
}

时间复杂度为O(E * log2(E))
适合用于边稀疏并且顶点较多的图。

2，最短路径

1.用**广度优先算法**求非带权图中的单源最短路径

![[1685953554162.jpg]]

2.dijkstra算法求单源最短路径问题
与1不同，这个算法适合用于带权图的情形
算法思想/步骤：
其基本思想是，设置顶点集合S并不断地作贪心选择来扩充这个集合。一个顶点属于集合S当且仅当从源到该顶点的最短路径长度已知。

算法步骤：
初始时，S中仅含有源。
设u是G的某一个顶点，把从源到u且中间只经过S中顶点的路称为从源到u的特殊路径，并用数组dist记录当前每个顶点所对应的最短特殊路径长度。
Dijkstra算法每次从V-S中取出具有最短特殊路长度的顶点u，将u添加到S中，同时对数组dist作必要的修改。
一旦S包含了所有V中顶点，dist就记录了从源到所有其它顶点之间的最短路径长度。

实例：

3.floyd算法求各顶点之间的最短路径