七夕节 (HDU - 1215) 【简单数论】【找因数】

七夕节 (HDU - 1215) 【简单数论】【找因数】

标签： 入门讲座题解 数论

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题目描述

七夕节那天,月老来到数字王国,他在城门上贴了一张告示,并且和数字王国的人们说:"你们想知道你们的另一半是谁吗?那就按照告示上的方法去找吧!"
人们纷纷来到告示前,都想知道谁才是自己的另一半.告示如下:

数字N的因子就是所有比N小又能被N整除的所有正整数,如12的因子有1,2,3,4,6.
你想知道你的另一半吗?
Input
输入数据的第一行是一个数字T(1<=T<=500000),它表明测试数据的组数.然后是T组测试数据,每组测试数据只有一个数字N(1<=N<=500000).
Output
对于每组测试数据,请输出一个代表输入数据N的另一半的编号.
Sample Input

3
2
10
20

Sample Output

1
8
22

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题意

给定一个\(n\)，找到它的全部因数（除了它本身），相加和是多少?

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解析

• 朴素做法就是循环一遍比\(n\)小的数，然后看看每个\(i\)是否是\(n\)的因数（n % i == 0），如果是的话就加上。但是这么做的时间复杂度是\(O(n)\)，显然，对于这道题这么大的数据量是过不了的。

• 优化一下。我们发现对于一个数的因数而言，除了完全平方数落在\(\sqrt{n}\)的因数以外，都是成对出现的。那么我们其实只要在\([2, \sqrt{n}]\)范围内找因数就可以了，找到一个因数，另一个因数做除法就也找到了。这样的时间复杂度是\(O(\sqrt{n})\)，对于这道题是可以通过的。

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通过代码

/*
Problem
    HDU - 1215
Status
	Accepted
Time
	312ms
Memory
	1360kB
Length
	667
Lang
	G++
Submitted
	2019-11-25 14:23:52
RemoteRunId
	31628051
*/

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

inline int read()      //快读，读入速度比scanf()快.当输入数据量较大时，使用快读可以明显加快程序速度.
{
    int res = 0;
    char ch;

    ch = getchar();

    while(!isdigit(ch)){
        ch = getchar();
    }

    while(isdigit(ch)){
        res = (res << 3) + (res << 1) + ch - 48;
        ch = getchar();
    }

    return res;
}
int main()
{
    int times;

    times = read();

    while(times --){
        int n, ans = 1;
        n = read();
        for(int i = 2; i * i <= n; i ++)      //只要在[2,sqrt(n)]内找因数即可.
            if(n % i == 0){
                if(n / i != i)
                    ans += i + n / i;
                else
                    ans += i;                //注意出现完全平方数的sqrt(n)因子时，只加一次即可.
            }

        printf("%d\n", ans);
    }
    return 0;
}