2021.12 做题笔记

因为 DP 太差，教练丢给我们一堆联赛难度的 DP 题做，然后完全不会，可能我的 DP 就是普及组水平。。

Luogu P2470 [SCOI2007]压缩

为数不多的自己做出来的紫题

\(f_i\) 表示到 \(i\) 的答案，转移枚举上一个 M 的位置，然后发现还要算一个 \(g_{l,r}\) 表示从 \(l\) 到 \(r\)（\(l\) 左面有一个 M）的串能压缩成多少，\(g\) 可以区间 DP，然后就做完了。

Luogu P1896 [SCOI2005]互不侵犯

入门题

Luogu P4294 [WC2008]游览计划

现学了一下斯坦纳树，就变成模板题了

（可以插头 DP？狗都不写）

Luogu P2081 [NOI2012] 迷失游乐园

给你一棵基环树，随机一点出发走每个点至多经过一次的路径，问期望路径长度。

如果是一棵树，这题就很简单了，只要算出从每个点往上和往下走的期望长度，这个可以两次 DP 算出来（有点像换根）。

基环树的话，还要处理一下环，求出从环上出发，从环上每个点下去的概率，再算期望。

[HDU4899]Hero meet devil

DP 套 DP，用 DP（状压） 去维护另一个 DP（lcs），其实挺暴力的，，

「ZJOI2019」麻将 有空做一下（flag）

Ural 1519 Formula

[SCOI2011]地板

这俩都是挺入门的插头 DP，以前做过（也是唯一做过的），就不写了

Luogu P6021 洪水

动态 DP

插块DP

这种 DP 思路还是非常好的

bzoj 4498 魔法的碰撞

在长 \(L\) 的数轴上放 \(n\) 个魔法师，第 \(i\) 个魔法师有一个属性 \(d_i\)，若魔法师 \(i\) 和 \(j\) 相邻，他们的距离不能小于 \(\max(d_i,d_j)\) ，求和法方案数。

\(n,d_i\leq 40\)，\(L\leq10^6\)

我们先把魔法师进行一个排列 \(p\)，那么他们靠的最近时占的地方就是 \(w=\sum\limits_{i=1}^{n-1}\max(d_{p_i},d_{p_{i+1}})\) ，对答案的贡献是 \(\binom{L-w}{n}\)。

把所有 \(d\) 按从大到小排序，这样对于相邻的两个点，对 \(w\) 的贡献都是先放进去那个产生的。

然后就来了一个牛逼的 DP，\(f_{i,j,k}\) 表示考虑到第 \(i\) 个人，目前留了 \(j\) 个空位，\(w\) 值目前为 \(k\) 的方案数。

这个空位，是指目前相邻的两个数之间之后还会不会放人，这决定了我们要不要把 \(d_i\) 加到 \(k\) 里，这一维就是插块 DP 的精髓。

转移分三类，左右都不留空位，留一个空位，留两个空位。具体地

\[f_{i-1,j,k}\xrightarrow{\times j} f_{i,j-1,k}\\ f_{i-1,j,k}\xrightarrow{\times 2j} f_{i,j,k+d_i}\\ f_{i-1,j,k}\xrightarrow{\times j} f_{i,j+1,k+2d_i} \]

复杂度大概是 \(O(n^2\sum d)\)。

bzoj 4664 Count

有 \(n\) 本书，第 \(i\) 本书高度 \(h_i\)，一个排列 \(p\) 的混乱程度定义为 \(\sum\limits_{i-1}^{n-1}\left| h_{p_{i}}-h_{p_{i+1}}\right|\) ，求混乱程度不超过 \(L\) 的方案数。

\(n\leq 100\)，\(L,h_i\leq 1000\)

和上面那道题其实很像的，但好像要更复杂一点。

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有一说一，回忆 DP 题挺痛苦的，因为完全不记得了还要重想一遍，12 月其实还做了不少 DP，先不写了