算法第五章作业

一、最小重量机器设计问题的回溯法分析问题背景：需为机器选择 n 个部件，每个部件有 m 个可选供应商，第 i 个部件选第 j 个供应商的重量为(w[i][j])、成本为(c[i][j])，要求总成本不超过 C，求最小总重量。
1.1 解空间解空间是长度为 n 的向量集合：((x_1, x_2, ..., x_n))，其中(x_i \in {1,2,...,m})（(x_i)表示第 i 个部件选择的供应商编号）。每个向量对应一种部件选择方案，解空间大小为(m^n)。
1.2 解空间树解空间树是n 层的 m 叉树：第 1 层到第 n 层分别对应第 1 到第 n 个部件的供应商选择；每个节点的子节点数为 m（对应该部件的 m 个供应商）；叶节点对应完整的部件选择方案（共(m^n)个叶节点）。
1.3 节点状态值遍历解空间树时，每个节点的状态包含：当前已选部件的序号（层数）；当前已累计的总成本；当前已累计的总重量；已选择的供应商组合（可选记录）。

二、对回溯算法的理解回溯法是 “试探 + 回退” 的搜索策略：从解空间树的根节点出发，按深度优先遍历，逐步选择候选解；若当前路径不满足约束（如成本超 C）或无法得到更优解，则回退到上一节点，尝试其他分支。它的核心是剪枝（通过约束函数 / 限界函数减少无效搜索），能在指数级解空间中高效找到可行解 / 最优解，但时间复杂度仍依赖问题规模，适用于组合优化类问题（如机器设计、八皇后）。