素数判断

判断一个素是否为素数是一个重要的问题,当数很大时还没有好的算法.下面是一个概率算法,基于Fermat小定理.

Fermat小定理: 如果p是一个素数,(a,p)=1,那么a^p-1≡1(mod p).

反之则不成立,不过不成立的情况很少.这样的合数称为Carmichael数,第一个Carmichael数为561.在一亿以内只有255个Carmichael数.

可以用Fermat小定理反复探测加上下面的二次探测定理来降低误判的可能性.

二次探测定理: 如果p是素数, 0<x<p,那么方程x²≡1(mod p)的解为x=1或p-1.

下面是代码:

#include<iostream.h>
#include<stdlib.h>

//求幂同时二次探测
int fermatTest(int a, int p, int n)
{
    if (!p)
        return 1;
    
    int x = fermatTest(a, p/2, n);
    int result = x*x % n;
    if (result == 1 && x != 1 && x != n-1)
        result = 0;
    if (p % 2 == 1)
        result = result * a % n;

    return result;
}

//判断是否为素数
bool isPrime(int n)
{
    int times = 1;
loop: //多次探测

    int a = rand() % (n-3) + 2; // [2,n-1)
    if (fermatTest(a, n-1, n) != 1)
        return false;

    if (++times > 10) //探测10次
        goto loop;

    return true;
}

void main()
{
    if (isPrime(89))
        cout<<"Yes.\n";
}